第一节 数量值函数的曲线积分 (第一类曲线积分),一、第一类曲线积分的概念和性质,二、第一类曲线积分的计算,三、几何与物理意义,一、第一类的曲线积分的概念 1、问题的提出,实例（1）柱面的面积 （2）曲线形构件的质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,2、定义,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,弧长元素,若在 L 上 f (x, y)1,定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.,= L的长度.,思考题,3 . 第一类曲线积分存在的条件：,1) 若 f (x , y)在光滑曲线 L上连续，则 一定存在.,2) f (x,y)在L上有界且在L上只有有限个间断点时， 存在.,4. 第一类曲线积分的性质,定理,二、第一类曲线积分的计算,3. 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,注意:,第一类曲线积分在一定条件下化为定积分计算，但要注意 ：,1) f (x , y) 定义在曲线L上，,2) ds是弧长微分 .,解,特殊情形,例2,解,例3,解,例4,解,例4,法二：,例5,解,例5,解,例5,解,例6,解,对空间曲线有类似的定义和计算公式,计算方法:,例1,解,=,例2,例3,解,由对称性, 知,三、几何与物理意义,例4 设螺旋线的方程为 x =acos t，y = a sin t， z =k t (0 t 2)，其线密度为 x2+ y2+ z2， 求其质量，对 z 轴的转动惯量及质心.,解,=,=,=,故重心坐标为,四、小结,1、第一类曲线积分的概念,2、第一类曲线积分的计算,3、第一类曲线积分的应用,练习题,练习题答案,