/* Numerical Integration */,近似计算,1 Newton-Cotes 公式, 在a, b上取 a x0 x1 xn b，做 f 的 n 次插值多项式 ，即得到,节点,f (x),插值型积分公式 /*interpolatory quadrature*/,误差,第8章 数值积分,1 Newton-Cotes Formulae,梯形公式 /* trapezoidal rule*/,解：逐次检查公式是否精确成立,代入 P0 = 1：,=,代入 P1 = x ：,=,代入 P2 = x2 ：,代数精度 = 1,代数精度,考察其代数精度。,例如，有积分公式:,求该积分公式的代数精确度。,对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的； 至少存在一个二次多项式使求积公式不精确成立； 故该求积公式的代数精确度为1。,解：取f(x)=1，,取f(x)=x ，,取f(x)=x2 ，,=,=,1 Newton-Cotes Formulae,注：形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 该公式为插值型（即： ）, 当节点等距分布时：,令,Cotes系数,注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i，可查表得到。与 f (x) 及区间a, b均无关。,1 Newton-Cotes Formulae,n = 1:,Trapezoidal Rule,/* 令 x = a+th, h = ba, 用中值定理 */,代数精度 = 1,n = 2:,Simpsons Rule,代数精度 = 3,n = 3: Simpsons 3/8-Rule, 代数精度 = 3,n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5,n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1 次代数精度。,Ck(n),/* Composite Quadrature */,高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。, 复合梯形公式：,在每个 上用梯形公式：,= Tn,/*中值定理*/,2 复合求积,2 Composite Quadrature, 复化 Simpson 公式：,= Sn,注：为方便编程，可采用另一记法：令 n = 2n 为偶数， 这时 ，有,精确解 ： 0.9460831,2 Composite Quadrature, 收敛速度与误差估计：,例：计算,解：,其中,= 3.138988494,其中,= 3.141592502,2 Composite Quadrature,Q: 给定精度 ，如何取 n ?,例如：要求 ，如何判断 n = ？,?,上例中若要求 ，则,即：取 n = 409,通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k,上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202,S4 = 3.141592502,注意到区间再次对分时,可用来判断迭代 是否停止。, 梯形法的递推化,将积分区间a,bn等分，分点xk=a+kh, h=(b-a)/n, k=0,1,n Tn 表示用复化梯形法求得的积分值 考察小区间xk, xk+1，记该区间的中点为xk+1/2=(xk+xk+1)/2 该小区间二分前后的两个积分值分别记为Tkl和Tk2，则：,得：,则:,这一公式是递推形式的，式中h=(b-a)/n表示二分前的步长。,(变步长法),例：用变步长方法计算,解：,积分的准确值为 0.946083070367,/* Romberg Integration */,例：计算,已知对于 = 106 须将区间对分 9 次，得到 T512 = 3.14159202,由 来计算 I 效果是否好些？,考察,= 3.141592502,= S4,一般有：,Romberg 序列, Romberg 算法：, ?, ?, ?, ,3 龙贝格积分,K n Tn 0 1 0.920735492 1 2 0.939793285 2 4 0.944513522 3 8 0.945690864,积分的准确值为 0.946083070367,