一、选择题1已知数列的前项和为，则（ ）A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024【答案】B【解析】因为，所以，即是以2为公比的等比数列，所以，故选B.2.已知数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C二、填空题3.已知数列的前项和为，若数列是公差为2的等差数列，则数列的通项公式为_【答案】【解析】由可知，当时，当时，符合上式，所以对任意的均有，则，因而数列是公差的等差数列，则，得，所以数列的通项公式为.4.已知正项数列的首项，前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为_【答案】5.已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第_项最小【答案】4【解析】由题时，化为 时，解得数列a1=1，a2=2的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为2，进而得到数列为等差数列，首项为1，公差为1数列满足时，时也成立 则数列中第4项最小即答案为4.6.已知数列中，且，则=_【答案】7.数列的前项和为，则它的通项公式为_.【答案】【解析】由数列的前项和为，当时， ，当时， ，当时上式不成立， ，故答案为.8.已知数列的前n项和，则该数列的通项公式是_【答案】【解析】当 时 ；当 时 ；所以9.设数列的前项和为，且为等差数列，则的通项公式_【答案】 10.设Sn是数列an的前n项和，且， ，则_【答案】【解析】， ，数列是等差数列，首项与公差都为，故答案为.11.己知数列an的前n项和满足Sn=2n+1-1,则an=_.【答案】an= 三、解答题12已知正项数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，公比为（），且，成等差数列（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】(1)；(2).【解析】（1）当时，即，因为，所以，当时，即，因为，所以，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以 由得 ，所以13.已知正项数列的前项和满足： （1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，可得当时， ，可解得，或，由是正项数列，故.当时，由已知可得， ，两式相减得， .化简得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.数列的通项公式为.（2），代入化简得，显然是等差数列，其前项和.14.已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，证明： .【答案】（1）（2）见解析 （2）由（1）有，则 易知数列为递增数列，即.15.已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求.【答案】（1）（2） （2）由（1）知，.16. 已知数列的各项均为正数，且，求.【答案】 令可得：可解得 17.已知数列的前项和是，且.（1）若，求的通项公式；（2）在（1）的条件下，求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）当时，即，整理得，所以 所以是一个公差为2的等差数列，又，所以，所以， 此时符合题意所以当时，上式不成立，所以 （2）由（1）可知， ， 所以18.已知数列的前项和满足：，（为常数，）.（）求的通项公式；（）设，若数列为等比数列，求的值；（）在满足条件（）的情形下，.若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】（1） 且 数列是以为首项，为公比的等比数列 (3)由（2）知 所以 ，所以，解得.19.设数列的前项和为，已知.（1）设，证明数列是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1），当时， 两式相减得： 当时，从而数列是以为首项，为公比的等比数列 20已知数列的首项，前项和为（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和【答案】(1) （2） 【解析】(1)由题意得两式相减得，所以当时，是以为公比的等比数列.因为所以，对任意正整数成立，是首项为，公比为的等比数列，所以得.（2）， 所以， 21.已知数列的前项和为，且（）求数列的通项公式（）求数列的前项和【答案】（1）（2） （）因为，所以 22.为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2） 23.已知数列的前项和为且 .（1）求证为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，是否存在正整数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在正整数【解析】（1）证明 作差得 为首项为1，公比为2等比数列 （2） 代入得 ， 存在正整数，对任意24.已知为数列的前项和，且有， （）（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求其前项和为【答案】（1）（2）【解析】（1）当时， ；当时， ，两式相减得， ，又，所以是首项为,公比为2的等比数列，所以 点睛：题目给出与的关系时，利用 进行处理，注意检验n=1的时候是否成立.25.已知正数数列的前项和为，满足， .（1）求数列的通项公式；（2）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，两式相减得：，化简得： ，可以得出为等差数列，又，所以.（2）设，则 ，同理，因为恒成立，所以，所以.26.数列的前n项和为，已知成等比数列.(I)求数列的通项公式;(II)若数列满足,求数列的前n项和.【答案】(1) 2n1；（2）Tn=6+(2n3) (II)数列满足=，bn=(2n1) =.数列bn的前n项和Tn=2+3+5+，2Tn=22+3+(2n3)+(2n1)，Tn=6+(2n3).27.已知数列的前项和为,且 （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1） （2） （2） 28.已知数列的前项和，数列满足.（1）求， ；（2）设为数列的前项和，求.【答案】(1) ， ；(2) .【解析】（1），当时， （），又，即满足上式，数列的通项公式； ， 29.已知数列的首项，前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得两式相减得，所以当时， 是以为公比的等比数列.因为所以， ，对任意正整数成立， 是首项为，公比为的等比数列，所以得.（2），所以，