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.北京市海淀区2017-2018学年第一学期期末练习高三数学(理科)题号一二三总分(15)(16)(17)(18)(19)(20)分数学校: 班级: 姓名: 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)设集合若,则的范围是 ( ) (A) (B) (C) (D)(2)函数图象的两条相邻对称轴间的距离为 ( )(A) (B) (C) (D) (3)在边长为的正三角形中,设则等于( )(A) (B) (C) (D) (4)设i为虚数单位,则展开式中的第三项为 ( )(A) (B) (C) 6 (D) (5)设、是不同的直线,、是不同的平面,有以下四个命题: 若 则 若,则 若,则 若,则其中真命题的序号是( )(A) (B) (C) (D) (6)已知点,B为椭圆+=1的左准线与轴的交点,若线段AB的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为 ( )(A) (B) (C) (D)(7)已知函数,为的反函数,则函数与在同一坐标系中的图象为 ( ) (A) (B) (C) (D) (8) 已知函数是定义在上的增函数,其中设函数,且不恒等于,则对于有如下说法:定义域为 是奇函数 最小值为 在定义域内单调递增其中正确说法的个数有 ( )(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.(9)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(10)在中, ,且的面积为,则 ; .(11)已知函数 那么不等式的解集为 .(12)设不等式组所表示的平面区域为S,则S的面积为 ;若,为S内的两个点, 则的最大值为 .(13)已知是以为球心的球面上的四个点,两两垂直,且,则球的半径为 ;球心到平面的距离为 (14)在100,101,102,999这些数中,各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是 个. 把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列,则321是第_个数. (用数字作答) 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.(15)(本小题共12分)已知向量设函数(I) 求函数的单调递增区间;(II) 求函数的最大值及取得最大值时的集合.(16)(本小题共14分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,, 点是的中点,且交于点 . (I) 求证: 平面; (II) 求二面角的大小; (III)求证:平面平面.(17)(本小题共12分)某城市有30的家庭订阅了A报,有60的家庭订阅了B报,有20的家庭同时订阅了A报和B报,从该城市中任取4个家庭. ()求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率;()求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率;()求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率.(18)(本小题共14分)已知抛物线S的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,的三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线的方程为(I)求抛物线S的方程;(II)若O是坐标原点,P、Q是抛物线S上的两动点,且满足.试说明动直线PQ是否过一个定点.(19)(本小题共14分)设、是函数的两个极值点.(I)若,求函数的解析式;(II)若,求的最大值;(III)设函数,当时,求证: .(20)(本小题共14分)已知定义在上的函数满足:,且对于任意实数,总有成立.(I)求的值,并证明函数为偶函数;(II)定义数列:,求证:为等比数列;(III)若对于任意非零实数,总有.设有理数满足,判断和的大小关系,并证明你的结论.北京市海淀区2017-2018学年第一学期期末练习高三数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.)题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案BB A DD CAC二、填空题(本大题共6小题,每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分)(9)2 (10),8 (11) (12)16,(13), (14) 204 ,53 三、解答题(本大题共6小题,共80分.)(15) (共12分)解: (I)由已知可得 1分 6分 由得: 8分 即函数的单调递增区间为. 9分 (II)由(I) 有, . 10分所求的集合为. 12分 (16) (共14分) 方法一:()证明:连结交于,连结. 1分 是正方形, 是的中点. 是的中点,是的中位线. 2分 又平面, 平面, 3分平面. 4分 ()解:取中点,则.作于,连结. 5分 底面,底面. 为在平面内的射影.,. 为二面角的平面角. 7分 设,在中, . 二面角的大小为. 9分 (III)证明:由条件有 平面, 10分 又 是的中点, 平面 11分 由已知 平面 又平面 平面平面 14分方法二:解:(II)如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系, 5分 由故设,则 . 底面,是平面的法向量,设平面的法向量为, , 7分则 即 令,则. 8分, 二面角的大小为 9分(III), , 10分 12分又且. 又平面 平面平面. 14分(17)(共12分)解:()设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A, 1分 4分答:这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率为.()设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件为B, 5分 8分答:这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率为.(III) 设“这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅”的事件为C, 9分因为有30的家庭订阅了A报,有60的家庭订阅了B报,有20的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30. 所以 12分答:这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率为.注:第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30,后面计算有误,给到10分.(1
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