定义,设f(x y z)是空间有界闭区域上有定义,将任意分割成n个互不重叠的小区域,在 上任取一点 作积分和,其中 表示小区域 的体积,若对区域 的任意一种分割法,以及中间点 的任意取法，积分和的极限,总存在，则称此极限为 在区域 上的三重积分，,7-3 三重积分的概念与计算,当极限 存在时,称 在区域 上可积.,三重积分 中的各部分的名称, 积分号, 积分区域,f(x y z)被积函数,f(x y z)dv被积表达式,dv 体积元素,x y z积分变量,有界闭区域上的连续函数或分块连续函数在上是可积的.,若一物体占有空间位置，又其体密度为 则该物体的质量为,1 在直角坐标下的计算,（）积分区域是一个柱面，而其底与顶可以是 曲面,及 在 上连续,其中,在 上连续,穿入点的竖坐标：,穿出点的竖坐标：,先将x,y看作定值，将f(x,y,z)看成z的函数，在 上积分，其结果是x,y的函数，记为,然后计算F(x,y)在D上的二重积分,于是有,公式把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分或 累次积分.,其中 为三个坐标,补例 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解,面及平面,例1 求三重积分,解,D,（2）先二重积分后定积分的方法,一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分 设积分区域为 (x y z)|(x y)Dz azb 其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域 则,即所谓的“先二后一”法.,说明：,例2 求三重积分,解,即,判定是否可以用此方法的具体步骤是：根据积分区域和被积函 数的特点，如果用垂直于某坐标轴（如z轴）的平面去截区域得截 面面积是该坐标轴（如z轴）的函数，而被积函数也仅是该坐标变 量（如z）的函数，或可化为仅是该坐标变量（如z）的函数，则有,同理得:,同理得:,同理得:,例3 求三重积分,解,于是,同理,故,空间点的柱面坐标,2 在柱坐标下的计算公式,设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(r ) 则这样的三个数r、 、z就叫做点M的柱面坐标 这里规定、 、z的变化范围为 0r 02 z,直角坐标与柱面坐标的关系,xrcos yrsin zz,圆柱面,半平面,平面,坐标面分别为,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为,三重积分在柱面坐标下的计算公式是,(1) 是一个正的柱体，在oxy平面上的投影的极坐标 区域 为D，其低曲面与顶曲面用柱坐标分别表示为,则,例 4 求三重积分,解,例 5 求三重积分,解,3 在球坐标下的计算公式,设P(x y z)为空间内一点P到原点的距离计作 ，向径 与Z轴正向的夹角计作 ( ),P在Oxy平面上的投影点 的极角计作 ( ),则数组( )与点P 有一一对应关系，称( )为点P 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,例 7 求三重积分,解,例 8 求三重积分,解,4. 在一般变量变换下的计算公式,定理3,设函数 在有界闭区域 上连续,又设变换,在 上连续,有连续的偏导数, 将 一一对应地变到 , 且变换的雅可比行列式,则,球坐标变换,的雅可比行列式,柱面坐标变换,的雅可比行列式,因此，前面讲的球坐标及柱面坐标计算三重积分的 公式都是公式（7.10）的特例.,广义球坐标变换,例 9 求三重积分,解,