1,运用生成函数求数列的和,2,本讲内容：,生成函数与数列 运用形式幂级数求数列的和,3,重要知识回顾,对于实数序列a0，a1，a2，an，函数 g(x)a0a1xa2x2anxn 称为给定序列的生成函数或母函数。 并约定，若某个ai0 (i0,1,2,)， 则项aixi 可以省略不写。 几个生成函数的幂级数展开式（ P4546 ）。,4,例1：已知 是数列an(n=0,1,2,)的生成函数，求f(x)的形式幂级数展开式及通项an。,解：,由P46公式(9)可得：,从而：,5,例2：写出下列序列的生成函数：,2,-2,2,-2,2,-2,2,-2, 数列an=n(n+1),n=0,1,2,3 ,解：,设其生成函数为f(x)，则：,P46公式9：,6,例2：写出下列序列的生成函数：,2,-2,2,-2,2,-2,2,-2, 数列an=n(n+1),n=0,1,2,3 ,(2) 设其生成函数为f(x)，则：,7,定理2.5.1 若h(x)为an的生成函数，即,则,为bn=a1+a2+an (n=0,1,2,3 ,)的生成函数。,证明见课本P54,8,例3：计算级数 的和。,解：,令an=n(n+1),n=0,1,2,3 ,例2已求得an的生成函数为,再由定理2.5.1知bn的生成函数为,9,例4：计算级数 的和。,解：,令an=n2,n=0,1,2,3 ,设an的生成函数为,10,从而bn的生成函数为,11,练习1：写出下列每个序列的生成函数：,数列 , n=0,1,2,3 , 数列an=n(n+1)(n+2), n=0,1,2,3 ,解答见P53例1例2,练习2：计算级数 的和。,