题型六 二次函数中的存在、 探究问题 ? ? ? ? ? ? 类型一 线段数量关系的存在、 探究问题 例 （ 南宁） 如图， 抛物线 （ ） 经过 （ ， ） 、 （ ， ） 两点， 并与直线 交于 、 两点 直线 过点 （ ， ） 且平行于 轴， 过 、 两点分别作直线 的垂线， 垂足分别为点 、 例 题图 （ ） 求此抛物线的解析 式； （ ） 求证： ； （ ） 探究： 当 时， 直线 与 轴重合， 求出此时 的值； 试说明无论 取何值， 的值都等 于同一个常数 （ ） 【 思路分析】 由于函数表达式中只有两个未 知数， 将已知的两点坐标代入便可求待定系数 、 ， 从 而得到其解析式 解： 抛物线 （ ） 经过 （ ， ） ， （ ， ） ， ， 解得 此抛物线的解析式为 （ ） 【 思路分析】 用坐标求出距离， 勾股定理求出 两线段长度， 便可证两线段相等 证明： 如解图， 延长 与 轴交于点 ， 由于 与 点的纵坐标相等， 例 题解图 设 的坐标为（ ， ） ， 则 的横坐标为 ， 又点 在抛物线 的图象上， （ ， ） （ ） ， ， ， 槡 ， （ ） 【 思路分析】 用方程组求出交点坐标， 主要是 纵坐标， 再求出线段长， 通过计算便可得结论 解： 当 时， 、 均在 轴上， 则 ， ， 由 ， 得 槡 槡 或 槡 槡 ， （ 槡 ， 槡 ） ， （ 槡 ， 槡 ） ， 槡 ， 槡 ， 槡 槡 （ 槡 ） （ 槡 ） 故不论 为何值时， 的值恒为常数 【 方法指导】 探究对称轴上或抛物线上是否存在 一点 ， 使得所给关系式成立方法的一般步骤为： （ ） 设出点坐标： 若点 在抛物线上， 可以设点 的坐标 为（ ， ） ； 若点 在对称轴上， 可以设点 的坐标为（ ， ） ； （ ） 表示线段长： 利用勾股定理 或相似三角形的性质用（ ） 中设出的点坐标表示出所 要求的线段长（ 或量） ； （ ） 得出结果： 把（ ） 中所求的 线段长（ 或量） 代入所给的关系式中， 求出点坐标即可 针对演练 （ 贵港） 如图， 在平面直角坐标系 中， 抛物 线 的顶点为 （ ， ） ， 交 轴于 、 两点， 交 轴于点 ， 其中点 的坐标为 （ ， ） （ ） 求该抛物线的解析式； （ ） 设经过点 的直线与该抛物线的另一个交点 为 ， 且直线 和直线 关于直线 对称， 求 直线 的解析式； （ ） 在该抛物线的对称轴上存在点 ， 满足 ， 求点 的坐标； 并直接写出此时直 线 与该抛物线交点的个数 第 题图 （ 遵义） 如图， 已知抛物线 （ ） 的顶点坐标为（ ， ） ， 且与 轴交于点 （ ， ） ， 与 轴交于 ， 两点（ 点 在点 的左边） 如何解决二次函数 的线段最值问题 （ ） 求抛物线的解析式及 ， 两点的坐标； （ ） 在（ ） 中抛物线的对称轴 上是否存在一点 ， 使 的值最小？若存在， 求 的最小值， 若不存在， 请说明理由； （ ） 在以 为直径的相切于点 ， 交 轴 于点 ， 求直线 的解析式 第 题图 类型二 特殊三角形的存在、 探究问题 例 题图 例 （ 内江） 如图， 抛 物线 经 过 点 （ ， ） 、 （ ， ） ， 点 在抛物 线上， 轴，且 平 分 （ ）求抛物线的解析式； （ ）线段 上有一动点 ， 过点 作 轴的平行线， 交抛物线于点 ， 求线段 的最大值； 二次函数压轴题 直角三角形问题 （ ） 抛物线的对称轴上是否存 在点 ， 使 是以 为直角 边的直角三角形？如果存在， 求出 点 的坐标； 如果不存在， 说明 理由 （ ） 【 思路分析】 要求抛物线的解析式， 需要知道 三个点坐标， 题目已经给出 、 两点的坐标， 只需求 出 点坐标即可 例 题解图 解： 如解图， 过点作 轴交 轴于 ， 在 中， ， ， 槡 ， 平分 ， ， ， 求点 的坐标； 并直接写出此时直 线 与该抛物线交点的个数 第 题图 （ 遵义） 如图， 已知抛物线 （ ） 的顶点坐标为（ ， ） ， 且与 轴交于点 （ ， ） ， 与 轴交于 ， 两点（ 点 在点 的左边） 如何解决二次函数 的线段最值问题 （ ） 求抛物线的解析式及 ， 两点的坐标； （ ） 在（ ） 中抛物线的对称轴 上是否存在一点 ， 使 的值最小？若存在， 求 的最小值， 若不存在， 请说明理由； （ ） 在以 为直径的相切于点 ， 交 轴 于点 ， 求直线 的解析式 第 题图 类型二 特殊三角形的存在、 探究问题 例 题图 例 （ 内江） 如图， 抛 物线 经 过 点 （ ， ） 、 （ ， ） ， 点 在抛物 线上， 轴，且 平 分 （ ）求抛物线的解析式； （ ）线段 上有一动点 ， 过点 作 轴的平行线， 交抛物线于点 ， 求线段 的最大值； 二次函数压轴题 直角三角形问题 （ ） 抛物线的对称轴上是否存 在点 ， 使 是以 为直角 边的直角三角形？如果存在， 求出 点 的坐标； 如果不存在， 说明 理由 （ ） 【 思路分析】 要求抛物线的解析式， 需要知道 三个点坐标， 题目已经给出 、 两点的坐标， 只需求 出 点坐标即可 例 题解图 解： 如解图， 过点作 轴交 轴于 ， 在 中， ， ， 槡 ， 平分 ， ， 槡 （ ） 槡 ， （ 分）? ， ， ， ， （ ） （ 分）? （ ） 【 思路分析】 要证明 ， 由于 ， 若能再证明一个角对应相等即可， 根据直径所对的圆周角为 及直角三角形中两锐角互余求解 证明： 为的直径， ， ，（ 分）? ， ， ，（ 分）? ， ， （ 分）? （ ） 【 思路分析】 连接 ， 要证明直线 是的切线需证明 ， 进而证明 ， 由于 ， 只需证明 ， 这 个条件可由证明 得到 第 题解图 证明： 如解图， 连接 ， 是 边上的中线， ， 在 和 中，