空间向量及其运算,一、复习 1、平面向量的概念 2、平面向量的加减和数乘运算,1空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量,注意：空间的平移就是一个向量。平移实际就是点 到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向 量是共面的,向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段 表示同一或相等的向量。,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示,2空间向量的运算 结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面 向量的运算一样,（指向被减向量）,=a+b，,a,运算律：加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律：,空间向量加法的运算律要注意以下几点： 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即： 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即： 两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立,例已知平行六面体 （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量,3.共线向量（平行向量） （1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合，则这些向量叫做共线向 量或平行向量 a平行于b,记作ab,（2）共线向量定理：,对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使a=b。,推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 a 其中向量a叫做直线l的方向向量。,（1）概念：已知平面与 向量，作 ，如果直线OA平行于平面或在内，那么我们说向量 平行于平面，记作 。 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意两个向量总是共面的； 空间任意三个向量不一定共面； 空间四边形ABCD中 、 、 不共面。,4共面向量,（2）共面向量定理 如果两个向量 、 不共线，则向量 与向量 、共面的充要条件是，存在实数对x、y，使 =x +y,推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使 =x +y 或对空间任一点O，有 = +x +y 平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，式叫做平面MAB的向量表达式。,例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式 =x +y +Z (其中x+y+z=1) 的四点P、A、B、C是否共面,例3、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 =k ， =k , =k , =k ,求证： 四点E、F、G、H共面；,平面EG平面AC。,小结：1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3 、共线向量（平行向量）的概念及空 间向量共线的充要条件 4、共面向量的概念及向量共面的充要 条件,作业,.2.如图设A是BCD所在平面外的一点，G是BCD的重心。求证：,1.如图是正方体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，求证：这四个点共面。,P,S ,R, Q,