第三章 离散傅立叶变换,3.1 离散傅里叶变换的基本问题,3.1.1 DFT和IDFT的定义 N点的离散傅里叶变换(DFT)和离散傅里叶逆变换(IDFT)的定 义为,【例3-1】 已知，试分别计算的DTFT和8点、16点、32点DFT。 解：根据定义，的DTFT为,8点的DFT为,16点的DFT为,32点的DFT为,3.1.2 DFT与其他变换的关系 1. DFT与DTFT的关系,的 点DFT的结果 是DTFT的结果 在频域区间 上点等间隔采样，采样间隔是,2. DFT与ZT的关系,的 点DFT的结果 是对ZT的结果 在 域单位圆 上 点等间隔采样，采样间隔是,3. DFT与DFS的关系,有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 的DFS系数 的主值序列,3.1.3 DFT和IDFT的矩阵表示,IDFT的矩阵表示,3.2 离散傅里叶变换的性质,3.2.1 DFT的基本性质 1. 线性,和 的长度为 和 ， 和 为任意常数， ，则有,2. 周期性,若 的周期是 ， 是整数,3. 循环移位性质,循环移位: 有限长序列x(n),序列长度为M，对序列进行周期延拓，周期NM x(n)的循环移位序列： 左移m个单位，取主值序列,4. 循环卷积,同理,5. 选频特性,6. 离散帕斯维尔定理,3.2.2 复共轭序列与共轭对称性 1. 复共轭序列的DFT性质,2. 共轭对称序列与共轭反对称序列,有限长共轭对称序列,共轭反对称序列,任何有限长序列 均可表示为,3. 共轭对称性与DFT,4. 实序列DFT特性,若,3.3 频域采样与插值恢复,3.3.1 频域采样及其影响 频域采样定理：原若序列 长度为 ，其DTFT为 ， 对 频率区间 上 点等间隔采样得到 ，只有当频 域采样点数 时，有,3.3.2 频域插值与信号恢复,则 域的内插公式为,域内插函数为,3.4 DFT基本应用及影响,3.4.1 DFT基本应用 1. 用DFT分析信号频谱,2. 实数序列的DFT计算,(1)用一个点DFT同时计算两个点实序列的DFT,(2)用一个点DFT运算获得一个点实序列的DFT,3. 用DFT计算相关函数,若,则,4. 用DFT计算线性卷积,重叠相加法,5. 用DFT计算二维DFT,3.4.2 DFT应用的影响 1. 信号采样与频谱混叠,2. 截短效应与频谱泄露,截短效应就是因为在是时域对无限长信号用矩形窗截短，从而导致信号频谱相对原来出现扩展。这种频谱因时域截短而扩展的现象称为频谱泄露或漏能。,3. 频谱分析与栅栏效应,只是对 的频域采样，用 分析 的频谱，就像隔着栅栏看风景一样，只能看到间隔的部分，这种现象称为栅栏效应,