第三节 降维分析法,把一个多变量的问题转化为一系列较少变量的问题的方法，称为降维法(hypo-dimension method)。 常将多元问题转化为一元或二元问题，以分析单因素及双因素与指标的关系，且可用图形直观表示。,一、单因素与指标的关系,对于多元二次回归模型 固定m-1个因素，可导出单变量的回归子模型,【例511】,对【例59】所建立的回归模型进行单因素与试验指标的关系的分析。,对于x1，固定其它两个变量x2，x3，可得x1与产量 y 的回归子模型： 若令x2=x3=-1，可得y=6711.4235+204.7922x1-89.0199x12若令x2=x3=0，可得y=6767.1750-184.0828x1-89.0199x12 若令x2=x3=1，可得y=7506.2325-572.9578x1-89.0199x12 根据上述子回归模型作抛物线图（见图5-7）。,由图5-7可知，当种植密度为51000株/hm2，KCl施用量为201.15kg/hm2时，玉米川单13号的产量随播种期的推迟而急速下降；当种植密度为48000株/hm2，KCl施用量为126.15kg/hm2时，玉米川单13号的产量随播种期的推迟而缓慢下降；当种植密度为45000株/hm2，KCl施用量为51.15kg/hm2时，玉米川单13号的产量随播种期的推迟而缓慢上升。 在研究范围内固定为其它数值时，可得与产量其它的回归子模型，从而获得有关信息。,对于x2，固定其它两个变量x1，x3，可得x2与产量 y 的回归子模型： 若令x1=x3=-1，可得y=6284.0886+23.5234x2193.0462x22 若令x1=x3=0，可得y=6767.1750278.5234x2193.0462x22 若令x1=x3=1，可得y=6117.6852533.5234x2193.0462x22 根据上述子回归模型作抛物线图（见图5-8）。,由图5-8可知，当播种期为4月9日，KCl施用量为201.15kg/hm2时，玉米川单13号的产量随种植密度的增大而急速增加；当播种期为3月30日，KCl施用量为126.15kg/hm2时，玉米川单13号的产量随种植密度的增大而显著增加；当播种期为3月20日，KCl施用量为51.15kg/hm2时，玉米川单13号的产量随种植密度的增加而降低，当种植密度为48000株/hm2时，达到最小值，而后又随种植密度的增加而上升。 在研究范围内固定x1，x3为其它数值时，可得x2与产量y其它的回归子模型，从而获得有关信息。,对于x3，固定其它两个变量x1，x2，可得x3与产量 y 的回归子模型： 若令x1=x2=-1，可得y=6785.3857+270.0061x3-97.7682x32 若令x1=x2=0，可得y=6767.1750118.8811x3-97.7682x32 若令x1=x2=1，可得y=6974.2669-32.2439x3-97.7682x32 根据上述子回归模型作抛物线图（见图5-9）。,二、两因素与指标的关系,在m元二次回归模型中，固定m-2个因素，可得到二元二次回归子模型： 对于二元回归子模型可借用等高线(contour)的方法，用平面上的等高线图(contour map)来描述两个因素与指标的关系。, 等高线概念,等高线是指地面上高程相等的相邻各点连成一条曲线，用来表示地形高低起伏的形状。地面的基本形态：山顶、凹地、山脊、山谷、鞍部（见图5-10）。, 两因素与指标的关系,对于不同的二元二次回归子模型，画出它们对应的等值线图(isopleth map)(等产量线、等产值线等)，以分析两因素与指标的关系。 二元二次回归子模型的等值线图，可以根据实际问题的要求，确定有价值的指标y的取值，将每一指标值代入该二元二次回归子模型，可得相应的二元二次方程。在研究范围内，按一定步长固定每个二元二次方程一个变量，则可得关于另一变量的二次方程，解此方程即可得该变量的解。选择适当的坐标刻度，每一组两变量的对应值在坐标系中有一确定的点，将这些点连成光滑的曲线，则可得相应指标的等值线。,【例512】,对【例510】的资料进行两因素与指标的关系分析。,1、 考虑x1、x2对y的影响,若令x3=x4=x5=0，得： 确定有价值、有意义的指标y的取值，取y6000, 5500, 5000, 4500, 4000, 3500, 3000, 得相应指标的7条等产线（见图5-11）。,由图5-11可知，当纯N施用量为135kg/hm2，P2O5施用量为75.0kg/hm2，K2O施用量为150kg/hm2时，小麦品种8539要获得较高产量，播种期控制在11月16日左右，密度控制在150225万株/hm2。 在研究范围内固定x3，x4，x5为其它数值时，可得x1，x2与产量其它的二元二次回归子模型，从而获得大量的有关信息。,2、 考虑x1，x3对y的影响,若令x2=x4=x5=0，得 确定有价值、有意义的指标y的取值，取y6000, 5500, 5000, 4500,4000,3500,3000,得相应指标的7条等高线（见图5-12）。,由图5-12可知，当种植密度为225万株/hm2，P2O5施用量为75.0kg/hm2，K2O施用量为150kg/hm2时，小麦品种8539要获得较高产量，播种期控制在11月9日11月19日，纯氮施用量控制在67.5135kg/hm 2。 在研究范围内固定x2，x4，x5为其它数值时，可得x1，x3与产量其它的二元二次回归子模型，从而获得大量的有关信息。,3、 考虑x1，x4对y的影响,若令x2=x3=x5=0 ，得 确定有价值、有意义的指标y的取值，取y6000,5500,5000,4500,4000，得相应指标的5条等高线（见图5-13）。,由图5-13可知，当种植密度为225万株/hm2，纯氮施用量为135kg/hm2，K2O施用量为150kg/hm2 时，小麦品种8539要获得较高产量，播种期控制在11月9日19日，P2O5施用量为075kg/hm2。 在研究范围内固定x2，x3，x5为其它数值时，可得x1，x4与产量其它的二元二次回归子模型，从而获得大量的有关信息。,4、 考虑x1，x5对y的影响,若令x2=x3=x4=0，得 确定有价值、有意义的指标y的取值，取y6000, 5500, 5000, 4500,4000，得相应指标的5条等高线（见图5-14）。,由图5-14可知，当种植密度为225万株/hm2，纯氮施用量为135kg/hm2， P2O5施用量为75.0kg/hm2时，小麦品种8539要获得较高产量，播种期控制在11月16日左右，K2O施用量的多少对产量影响不大。 在研究范围内固定x2，x3，x4为其它数值时，可得x1，x5与产量其它的二元二次回归子模型，从而获得大量的有关信息。,5、 考虑x2，x3对y的影响,若令x1=x4=x5，得 确定有价值、有意义的指标y的取值，取y6000,5500,5000,4500,4000,3500,3000，得相应指标的7条等高线（见图5-15）。,由图5-15可知，当播种期为11月9日， P2O5施用量为75.0kg/hm2，K2O施用量为150kg/hm2时，小麦品种8539要获得较高产量，种植密度为225万株/hm2左右，纯氮施用量为90kg/hm2左右。 在研究范围内固定x1，x4，x5为其它数值时，可得x2，x3与产量其它的二元二次回归子模型，从而获得大量的有关信息。,6、 考虑x2，x4对y的影响,若令x1=x3=x5=0，得 确定有价值、有意义的指标y的取值，取y5500,5000,4500，得相应指标的3条等高线（见图5-16）。,由图5-16可知，当播种期为11月9日，纯氮施用量为135kg/hm2，K2O施用量为150kg/hm2，时，小麦品种8539要获得较高产量，种植密度为225万株/hm2左右，P2O5施用量对产量影响不大。 在研究范围内固定x1，x3，x5为其它数值时，可得x2，x4与产量其它的二元二次回归子模型，从而获得大量的有关信息。,7、 考虑x2，x5对y的影响,若令x1=x3=x4=0，得 确定有价值、有意义的指标y的取值，取y6000,5500,5000，得相应指标的3条等高线（见图5-17）。,由图5-17可知，当播种期为11月9日，纯氮施用量为135kg/hm2，P2O5施用量150kg/hm2时，小麦品种8539要获得较高产量，种植密度为187.5万株/hm2左右，可以不施K2O。 在研究范围内固定x1，x3，x4为其它数值时，可得与x2，x5产量其它的二元二次回归子模型，从而获得大量的有关信息。,8、 考虑x3，x4对y的影响,若令x1=x2=x5=0，得 确定有价值、有意义的指标y的取值，取y6000,5500,5000,4500,4000,3500，得相应指标的6条等高线（见图5-18）。,由图5-18可知，当播种期为11月9日，种植密度为225万株/hm2，K2O施用量为150kg/hm2时，小麦品种8539要获得较高产量，纯氮施用量控制在67135kg/hm2，P2O5 控制在088kg/hm2。 在研究范围内固定x1，x2，x5为其它数值时，可得x3，x4与产量其它的二元二次回归子模型，从而获得大量的有关信息。,9、 考虑x3，x5对y的影响,若令x1=x2=x4=0，得 确定有价值、有意义的指标y的取值，取y6000,5500,5000,4500,4000，得相应指标的5条等高线（见图5-19）。,由图5-19可知，当播种期为11月9日，种植密度为225万株/hm2，P2O5施用量为75.0kg/hm2时，小麦品种8539要获得较高产量，纯氮施用量为90kg/hm2左右，K2O施用量对产量影响不大。 在研究范围内固定x1，x2，x4为其它数值时，可得x3，x5与产量其它的二元二次回归子模型，从而获得大量的有关信息。,10、 考虑x4，x5对y的影响,若令x1=x2=x3=0，得 确定有价值、有意义的指标y的取值，取y6500，6250，6000，5750，5500，5250，5000，得相应指标的7条等高线（见图5-20）。,由图5-20可知，当播种期为11月9日，种植密度为225万株/hm2，纯氮施用量为135kg/hm2时，小麦品种8539要获得较高产量，P2O5施用量控制在037.5kg/hm2，K2O施用量控制在225300kg/hm2。 在研究范围内固定x1，x2，x3为其它数值时，可得x4，x5与产量其它的二元二次回归子模型，从而获得大量的有关信息。, 两个因素的曲面图（camber diagram）,对于二元二次回归子模型，也可在该回归子模型中对2个因素取不同值，计算对应的y值。如令xs=，xt=得y=s，得数组(，s)，它是对应3维空间的一个点，所有这些点构成了该二次回归子模型的回归曲面（regression camber）。,【例513】,讨论二元二次回归子模型 所对应的回归曲面。,在这2个二元二次回归子模型中，当x1，x2和x1，x3分别取不同值时，其对应产量列于表5-16和表5-17。 将以上的对应值绘图可得图5-21和图5-22。,由图5-21可知，播种期宜控制在11月16日左右，过早过迟都会造成小麦8539减产，种植密度也应控制在150225万株/hm2，种植密度过小或过大也会造成小麦8539减产，与等高线的分析结果相同。从图5-22也可直观地看出，播种期和施氮量对产量的影响与等高线分析所得结果相同。 类似地，在研究范围内还可作出许多对应于其它二元二次回归子模型的回归曲面，从而直观地看到某两个因素对试验指标的影响。,