2019/1/17,1,数字逻辑与数字电路的历史,逻辑代数的历史 1849年，爱尔兰数学家乔治布尔(George Boole)创立布尔代数。 20世纪30年代，在贝尔实验室工作的香农(Claude Shannon)继承了布尔的工作并加以发展和应用。 随着电子技术和计算机技术的发展，布尔代数在数字逻辑电路的分析和设计中得到了广泛的应用，统称为逻辑代数。,2019/1/17,2,集成电路的历史 1947年晶体管发明引起了电子学的一次革命。晶体管由巴丁(John Bardeen) 、布雷登(Wailter Houser Brattain)和肖克莱(William Schokley)共同发明，该发明促成了计算机、通信等方面的飞速发展。鉴于它的重要价值，这些人共同获得了1956年的诺贝尔物理学奖。 1958年，德克萨斯仪器公司的基尔白(Clair Kilby)、仙童半导体公司的诺依斯(Robert Noyce)等人研究实现了集成电路。以后集成度越来越高，出现了超大规模集成电路，这是电子学的又一次革命，也是近代科学技术发展的新的标志。,2019/1/17,3,集成电路的分类与数字集成电路的特点,集成电路分类 模拟集成电路，处理的信号是连续的（模拟信号） 数字集成电路，处理的信号是离散的（数字信号） 数字集成电路分类 逻辑集成电路、存储器、各类ASIC 数字集成电路特点 信息表示形式统一、便于计算机处理 可靠性高 制造工艺成熟、可以大规模集成,2019/1/17,4,数字集成电路的发展,集成度 SSI（1-10门，逻辑门电路） MSI（10-100门，计数器、移位寄存器器） LSI（100-1000门，小型存储器、8位算术逻辑单元） VLSI（1000-100万门，大型存储器、微处理器） ULSI（超过100万门，可编程逻辑器件、多功能集成电路） 摩尔定律 集成度每18个月翻一番,2019/1/17,5,教科书与参考书,教科书：陈光梦，数字逻辑基础，复旦大学出版社 参考书： 陈光梦等，数字逻辑基础学习指导与教学参考，复旦大学出版社 阎石，数字电子技术基础，高教出版社 Victor P. Nelson etc，Digital Logic Circuit Analysis and Design，清华大学出版社 John M. Yarbrough，数字逻辑应用与设计，机械工业出版社 刘宝琴，数字电路与系统，清华大学出版社 唐竞新，数字电子技术基础解题指南，清华大学出版社 曾繁泰等，VHDL程序设计，清华大学出版社,2019/1/17,6,本章要求,掌握逻辑代数的基本公式和基本定理 掌握逻辑函数的化简方法,2019/1/17,7,1.1 逻辑代数概述,二值逻辑：逻辑关系中的条件和结论只取对立的两个值，例如是和非、对和错、真和假等等。 在逻辑代数中，通常用“1”代表“真”，用“0”代表“假”。 二值逻辑的“1”与“0”是逻辑概念，仅代表真与假，没有数量大小。 在数字逻辑中，有时也用“1”与“0”表示二进制数。这仅仅是一种代码，实际的运算规律还是依照逻辑运算进行。,2019/1/17,8,常用二十进制代码,2019/1/17,9,逻辑函数,用一个数学表达式来描述一个逻辑关系问题 逻辑条件 输入变量（自变量） 逻辑结论 输出变量（因变量）,2019/1/17,10,逻辑函数的表示方法,真值表 逻辑函数 逻辑图 卡诺图 硬件描述语言（HDL） 以上5种表示方法可以相互转换，各有特定用途,2019/1/17,11,真值表,A B Y,2019/1/17,12,逻辑函数：基本逻辑运算,与 Y = A B 或 Y = A + B 非 Y =,A,A + B,A B,2019/1/17,13,“与” 运算,A B Y,2019/1/17,14,“或” 运算,A,B,Y,2019/1/17,15,“非”运算,Y =,A Y,2019/1/17,16,反函数,两个逻辑函数互为反函数，是指两个逻辑函数对于输入变量的任意取值，其输出逻辑值都相反。下面真值表中 F 和 G 互为反函数。,2019/1/17,17,复合逻辑运算,与非 或非 异或 同或,Y = AB,2019/1/17,18,复合逻辑运算的真值表,2019/1/17,19,逻辑图：基本逻辑单元,2019/1/17,20,逻辑图符号标注规定（GB4728.12-1996）,所有逻辑符号都由方框（或方框的组合）和标注在方框内的总限定符号组成,&,总限定符号 & 1 =1 =,外部逻辑状态,逻辑约定 小圈表示逻辑非 也可采用极性指示符,内部逻辑状态,2019/1/17,21,组合形式的逻辑图,2019/1/17,22,国外逻辑图符号对照,与门,或门,非门,美、日常用符号,国标符号GB4728.12-1996,2019/1/17,23,异或门,或非门,与非门,同或门,美、日常用符号,国标符号GB4728.12-1996,2019/1/17,24,1.2 逻辑代数的基本定理,一、变量与常量的运算(0-1律) A 1 = A A + 0 = A A 0 = 0 A + 1 = 1 二、等幂律 A A = A A+A = A 三、互补律 A = 0 A+ = 1 四、自反律 = A,2019/1/17,25,五、交换律 AB = BA A+B = B+A 六、结合律 A(BC) = (AB)C A+(B+C) = (A+B)+C 七、分配律 A(B+C) = AB+AC A+BC = (A+B)(A+C) 八、反演律（De Morgan定理 ）,2019/1/17,26,代入定理,在任何一个逻辑等式中，若将其中一个逻辑变量全部用另一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。 例： 若 Y=AC + BC， C = P + Q 则 Y = A (P + Q) + B (P + Q),2019/1/17,27,反演定理,对于任何一个逻辑函数式，将其中的: 所有逻辑符号 “ + ”、“ ” 交换; 所有逻辑常量 “ 1 ”、“ 0 ” 交换; 所有逻辑变量取反; 不改变原来的运算顺序。 得到的逻辑函数是原来逻辑函数的反函数。 例：,2019/1/17,28,对偶定理,对偶关系：逻辑符号“ + ”和“” 逻辑常量“ 1 ”和“ 0 ” 对偶式： 所有逻辑符号“ + ”“”交换 所有逻辑常量“ 1 ”“ 0 ”交换 若两个函数相等，则由他们的对偶式形成的两个函数也相等。 例：若 则,2019/1/17,29,注意点,反演定理：描述原函数和反函数的关系（两个函数之间的关系） 对偶定理：描述原函数构成的逻辑等式和对偶函数构成的逻辑等式的关系（两个命题之间的关系） 在一般情况下，一个逻辑函数的反函数和对偶函数是不同的,2019/1/17,30,常用逻辑恒等式,2019/1/17,31,2019/1/17,32,1.3 逻辑函数的化简与形式转换,目标函数形式（原因：实际电路的需要） 与或形式 或与形式 与非与非形式 或非或非形式 与或非形式 混合形式,2019/1/17,33,目标函数的要求： 逻辑电路的数量最少（面积约束） 逻辑电路的级数最少（速度约束） 输入端的数量最少（混合约束） 电路稳定可靠 （避免竞争冒险） 具体问题具体分析，没有一成不变的规定,2019/1/17,34,代数法化简逻辑函数,公式法化简可以适用于任何场合，但是通常没有一定的规律可循，需要敏锐的观察力和一定的技巧。 最常用的化简手段是吸收律、冗余律和反演律。,2019/1/17,35,代数法化简的例子,2019/1/17,36,2019/1/17,37,2019/1/17,38,2019/1/17,39,逻辑函数形式转换的例子,2019/1/17,40,2019/1/17,41,2019/1/17,42,2019/1/17,43,逻辑函数的卡诺图表示和卡诺图化简法,特点： 图形化简法 标准的表达方式 规律的化简过程 变量数目有限制（最多56个）,2019/1/17,44,最小项,在n个逻辑变量的逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项（逻辑与），且其中每个逻辑变量都以原变量或反变量的形式出现一次并仅仅出现一次，则称m为这n个变量的最小项。 例： 记为m2 记为m5 记为m7,2019/1/17,45,最大项,在n个逻辑变量的逻辑函数中，若M为包含n个因子的和项（逻辑或），且其中每个逻辑变量都以原变量或反变量的形式出现一次并仅仅出现一次，则称M为这n个变量的最大项。 例： 记为M2 记为M5 记为M7,2019/1/17,46,最小项与最大项的比较,以3变量函数为例,2019/1/17,47,最小项和最大项的性质,对于一个具有 n 个变量的逻辑问题，在输入变量的任意一种取值情况下，总有：,一、必有且仅有一个最小项的逻辑值为1；必有且仅有一个最大项的逻辑值为0。 二、任意2个不同的最小项之积为0；任意两个不同的最大项之和为1。,2019/1/17,48,三、全体最小项之和为1；全体最大项之积为0。 四、下标相同的最大项和最小项互补。,2019/1/17,49,逻辑函数的两种标准表达式,最小项之和形式，简称为积之和(SOP)形式 最大项之积形式，简称为和之积(POS)形式,2019/1/17,50,标准表达式的关系,性质1、一个逻辑函数的两种标准逻辑表达式之间，存在以下关系： 若 则 性质2、一个逻辑函数与其反函数的逻辑表达式之间，存在以下关系： 若 则,2019/1/17,51,将逻辑函数化成标准形式,要求按积之和形式展开函数，可以将非最小项的积项乘以形如 的项，其中A 是那个非最小项的积项中缺少的输入变量，然后展开，最后合并相同的最小项。 要求按和之积形式展开函数，可以将非最大项的和项加上形如 的项，其中A 是那个非最大项的和项中缺少的输入变量，然后展开，最后合并相同的最大项。,2019/1/17,52,卡诺图,每个方格代表一个最小项或者最大项。 变量排列按照相邻规则进行，即在卡诺图中相邻的方格在逻辑上也相邻。（相邻的意义：两个最小项或最大项之间只有一个变量发生变化）,2019/1/17,53,卡诺图的填法,最小项填 1 最大项填 0,2019/1/17,54,卡诺图化简法,根据相邻的方格在逻辑上也相邻的原理，只要相邻的方格满足以下条件： 一、逻辑值相同； 二、小方格数为 2n 个。 就可以将相邻的方格合并为一个卡诺圈。 卡诺圈越大，可以消去的变量越多，最后得到的逻辑函数越简单。 若卡诺圈包含的小方格数为 2n 个，而这个逻辑函数具有 m 个变量，则这个卡诺圈对应的项中包含的变量数目为 mn 个。,2019/1/17,55,卡诺图的圈法（SOP）,圈“1” 包含2n个方格 尽可能大 不遗漏,2019/1/17,56,卡诺图的圈法（POS）,圈“0” 包含2n个方格 尽可能大 不遗漏,2019/1/17,57,卡诺图化简法的要点,将逻辑函数化为标准形式（或真值表） 填卡诺图 圈卡诺圈（满足2n个方格要求、尽可能大、不遗漏） 根据卡诺圈写出化简后的逻辑函数 若有必要，运用反演律对所得结果进行变换,2019/1/17,58,卡诺图化简的例（一）,2019/1/17,59,卡诺图化简的例（二）,2019/1/17,60,卡诺图化简法的一些术语,蕴涵：逻辑函数的“与或”表达式中的各项 质蕴涵 ：不能再与其他蕴涵合并的蕴涵 必要质蕴涵：包含一个或多个唯一的最小项的质蕴涵 覆盖：包含了逻辑函数中所有最小项的一些蕴涵之“或” 非冗余覆盖：其中每一个蕴涵都是必不可少的覆盖 最小覆盖：包含蕴涵个数最