行 列 式 与 矩 阵,n阶行列式的概念,行列式的性质与计算,Cramer法则,第六章,矩阵及其计算,逆矩阵与矩阵的秩,分块矩阵,矩阵的初等变换,学习重点,余子式与代数余子式的概念,n阶行列式的概念,行列式的引入,引例：用加减消元法求解 二元线性方程组,如果规定,则有,二阶行列式,determinant,定义,a,b,c,d,例 根据定义计算行列式的值,主对角线元素之积减去副对角线元素之积,对角线法则,三 阶行列式,对角线法则,例 根据定义计算行列式的值,对角线法则,元素 的余子式,元素 的代数余子式,余子式,元素 的余子式 就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式,代数余子式,三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和,n 阶行列式的定义（P222定义1）,按第一行展开,例 根据定义计算行列式的值,下三角形行列式,逐次按第一行展开,下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积,特别,三阶行列式等于 第一列所有元素与其代数余子式乘积之和,定理,按第一列展开,上三角形行列式,逐次按第一列展开,上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积,例 计算行列式的值,按第一列展开,行列式的性质及计算,第 二 节,学习重点,行列式的性质,行列式的按行按列展开定理,1、转置变换,或记作,行列式的几种变换,行、列对掉,称 为行列式 的转置行列式,Transpose,行变 row,列变换 column,交换i, j两行,数K乘第 i 行,数K乘第 j 行后 加到第 i 行上去,交换i, j两列,数K乘第 i 列,数K乘第 j 列后 加到第 i 列上去,2、换法变换,3、倍法变换,4、消法变换,换法变换,倍法变换,消法变换,行列式的性质,1. 行列式转置后，其值不变。,表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有,2. 互换行列式的两行（列），行列式变号。,推论：如果行列式D有两行（列）相同，则D=0,3.行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数K，等于用数 K 乘此行列式 。,推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0,推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成比例，则D=0,推论1:行列式中某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式 符号的外面。,4. 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和， 则可以把该行列式拆成两个行列式之和。,5. 把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k 后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式 的值不变。,如,即,交换i, j两行,数K乘第 i 行,数K乘第 j 行后加到第 i 行上去,交换i, j两列,数K乘第 i 列,数K乘第 j 列后加到第 i 列上去,2、换法变换,3、倍法变换,4、消法变换,换法变换,倍法变换,消法变换,1、转置变换,行与列对调,等值,变号,翻倍,等值,变号,翻倍,等值,利用行列式的性质计算行列式的值,行列式的展开与计算,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的的代数余子式乘积之和。,推论 行列式中某一行（或列）的元素与另一行 （或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。,小结,行列式按行展开得D，串行展开得零。,例题,1、计算行列式的值,2、设有行列式,（1）,（2）,A11、A12、A13、A14分别是D的 第一行元素的代数余子式，试求 3A11-A12+3A13-A14的值。,解答,1、（1）,解答,1、（2）,2、将代数式还原成 行列式，得,1、计算下列行列式,（1）,（2）,2、证明：Vandermonde行列式,课 堂 练 习,小 结,行列式的计算方法：一般是先利用性质，用 消法变换将行列式中某一行（或列）的元素 尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不 为零，然后按该行（或列）展开，使行列式 降阶，最终化为二阶行列式，而得解。,作业：P251 2（1） 3（4）、6（2，3）、7 预习第三节、第四节,