第二章 质点动力学(2),一、动量定理(动量的变化与作用量的关系）,由牛顿第二定律：,表示力的时间累积，叫时间d t 内合外力 的冲量。,1）微分形式：,2）积分形式：,若为恒力：,1、 冲量(impulse),力对时间的积累产生的效果是什么呢 ？,冲量是力对时间的积累。,2、动量定理,在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。,2）积分形式：,对上式积分，,1、反映了过程量与状态量的关系。,3、只适用于惯性系。,动量比速度更能恰当地反映物体的运动状态,从动量定理可以知道，在相等的冲量作用下，不同质量的物体，其速度变化是不相同的，但它们的动量的变化却是一样的，所以从过程角度来看，动量比速度能更恰当地反映了物体的运动状态。因此，一般描述物体作机械运动时的状态参量，用动量比用速度更确切些。动量和位矢是描述物体机械状态的状态参量。,3、动量定理分量形式,即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。,在直角坐标系中，动量定理的分量式为,在低速运动情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为,1) 冲力 : 碰撞过程中物体间相互作用时间极短，相互作用力 很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为冲力。,若冲力很大, 其它外力可忽略时, 则：,若其它外力不可忽略时, 则 是合外力的平均。,2) 平均冲力 : 冲力对碰撞时间的平均值。,即：,例题1 人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。 若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？,解 设人的质量为M，从高h 处跳向地面，落地的速率为v0 ，与地面碰撞的时间为t ，重心下移了s 。,由动量定理得：,设人落地后作匀减速运动到静止，则：,设人从 2m 处跳下，重心下移 1cm，则：,可能发生骨折。,例题2 质量为m=0.2kg的皮球，向地板落下，以8m/s的速率与地板相碰，并以近似相同的速率弹回，接触时间为10-3s。求1)地板对球的平均冲力 2)冲力的冲量和重力的冲量。,中的F 实为合外力，除冲力外 还有重力。,即,2)冲力的冲量：,重力的冲量：,外力的冲量可忽略,SI 中 ： kgm 2 / s,的方向：用右手螺旋法则确定。,2、相对性 (1)参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。 (2)原点O选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。 质点对参考点的角动量,3、 的直角坐标系中的分量式,三、几个特例,1、做圆周运动质点 m 对圆心O 的角动量,方向： 与 同向，垂直于转动平面， 与质点转动绕向成右手螺旋关系,结论：做匀速圆周运动的质点对圆心的角动量是恒量。,质量为m 的质点作直线运动。,大小：,方向：由右手螺旋定则确定。,t时刻质点对O点的角动量为：,大小：,方向：与 同向。,1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则,3）若O 取在直线上，则：,t 时刻质点对O点的角动量为：,2）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量,作匀速圆周运动质点的角动量,取圆心为参考点,如果选中心轴线上任意一点O为参考点,可以作为状态量,3、参考点的选取和状态量的确定,如果选中心轴线外任意一点 o 为参考点,：当 不变时，由于 之间的夹角随时间变化，所以 的大小也随时间变化，在质点运动一周的时间内 的方向沿转轴方向的指向，翻转一次， 方向也不确定,选取参考点的原则是： 要使定义的角动量有用，参考点的选取就必须有一定限制例如，质点作圆周运动时，参考点不能选在中心轴线以外，只能选轴线上的任意一点角动量可以，而且只能定义成：质点对转轴上任意一点的角动量沿转轴方向的分量，称为质点的角动量这样定义的角动量与参考点在转轴上的位置无关，常选择圆心处。对于作直线运动的质点，参考点不能选在轨迹上,状态量的必要条件是：当质点的运动状态确定时，状态量有唯一确定的值，当运动状态不变时，状态量有唯一确定的不变值；对于不同的运动状态，状态量有不同的值，并且，运动状态变化时状态量的变化遵守确定的规律,通过上述分析可以得到,定义：作用于质点上的合外力对参考点的力矩,四、角动量变化遵守的规律,将角动量 对时间求导，可得：,2、在直角坐标系中,3、相对性：依赖于参考点O 的选择。,4、作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。,五、质点的角动量定理,质点的角动量定理,质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。,力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的各个力的力矩的矢量和（合力矩）等于各个力的合力的力矩。,和 是对同一惯性系中同一参考点而言的,1、微分形式,2、积分形式,角动量定理质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。,力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。,例题1 质量为m、线长为l 的单摆，可绕点O 在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求: 摆线与水平线成角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O 的角动量； 摆球到达点 B 时，角速度的大小。,解 任意位置时受力为：重力；张力。,由角动量定理：,瞬时角动量：,重力对O 点的力矩为：,方向：垂直于纸面向里。,张力对O 点的力矩为零。,五、 质点的角动量守恒定律,若质点所受的合力矩,若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。 质点的角动量守恒定律,例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。,1、孤立体，,2、有心力， 与位矢 在同一直线上，从而 。,3、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒。,并不等于：,注意：,解 如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，t时间内行星径矢扫过的面积,由于行星只受有心力作用，其角动量守恒,面积速度:,例题3 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动， 其半径为r0 ，角速度为 。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球的角速度。,解 选取平面上绳穿过的小孔O为原点。,所以小球对O 点的角动量守恒。,因为绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔，则力 对O 点的力矩：,例题4 我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运行已知卫星近地点的高度h1=226km，远地点的高度h2=1823km，卫星经过近地点时的速率v1=8.13km/s，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期 （地球半径R=6.37103km）,解 卫星轨道如图所示由于卫星所受地球引力为有心力，所以卫星对地球中心的角动量守恒,在远地点时，位矢的大小为,若坐标原点取在地心，则卫星在轨道的近地点时，位矢的大小为,设卫星在远地点时的速率为v1,且近地点和远地点处的速度与该处的径矢垂直，故由角动量守恒定律可得,故有,设椭圆轨道的面积为S，卫星的面积速度为dS/dt，则卫星的运动周期,a、b分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为,可得,作业：9、10 、20 、21 、 25,