简易逻辑,一、命题的有关概念,1.命题,可以判断真假的语句.,“非 p”形式的复合命题与 p 的真假相反;,2.逻辑联结词,“或”、“且”、“非”.,3.简单命题,不含逻辑联结词的命题.,4.复合命题,含有逻辑联结词的命题.,5.复合命题真值表,“p 或 q”形式的复合命题当 p 与 q 同时为假时为假, 其它情形为真;,“p 且 q”形式的复合命题当p 与q同时为真时为真, 其它情形为假.,二、命题的四种形式,逆否命题: 若q, 则p.,原命题: 若 p, 则 q;,逆命题: 若 q, 则 p;,否命题: 若p, 则q;,注: 互为逆否命题的两个命题同真假.,三、反证法,1.一般步骤,反设: 假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立;,归谬: 从假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾;,结论: 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确.,2.命题特点,结论本身以否定形式出现;,结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式;,结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式;,结论的反面比原结论更具体或更易于证明.,3.特殊结论的反设,4.引出矛盾的形式,由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立;,由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立;,由假设结论 q 不成立, 得到一个恒假命题;,分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.,典型例题,用反证法证明下列各题:,1.某班有 49 位学生, 证明: 至少有 5 位学生的生日同月.,2.若 p1p2=2(q1+q2), 证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一个方程有实根.,证: 假设至多有 4 位学生的生日同月, 即:,生日在 1, 2, , 12 月的学生人数都不超过 4 人.,则该班学生总数 m412=48人,与该班有 49 位学生的条件矛盾,假设不成立.,至少有 5 位学生的生日同月.,1.某班有 49 位学生, 证明: 至少有 5 位学生的生日同月.,证: 假设这两个方程都没有实根, 则 10 且 20, 从而有:,1+20.,又1+2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2),=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)20,与 1+20 矛盾.,即 1+20,假设不成立.,故这两个方程至少有一个有实根.,2.若 p1p2=2(q1+q2), 证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一个方程有实根.,与式相加得 -4a-2 ,与式相加得 -6a-4 ,显然与矛盾,假设不成立.,a, b, c 三数均小于 1,证: 假设 a, b, c 中至多有一个数不小于 1, 这包含两种情况:,即 0a1, 0b1, 0c1, 则:,与已知条件矛盾;,也与已知条件矛盾.,a, b, c 中恰有两数小于 1, 不妨设 0a1, 0b1, 而 c1,假设不成立.,a, b, c 中至少有两个不小于 1.,课堂练习,3.方程 x2 -mx+4=0 在-1, 1上有解, 求实数 m 的取值范围.,1.证: 设三个方程的判别式分别为1, 2, 3,由 1+2+3=b2 -ac+c2 -ba+a2 -cb,即 1+2+3 0.,故所述三个方程中至少有一个方程有实数根.,1, 2, 3 中至少有一个非负.,即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2. ,又|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2,即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2,与式矛盾.,假设不成立.,3.方程 x2 -mx+4=0 在-1, 1上有解, 求实数 m 的取值范围.,解: 先考虑 x2 -mx+4=0 在-1, 1上无解时 m 的取值范围.,包含两种情况: 方程 x2 -mx+4=0 无实数解;,方程有实数解, 但解不在 -1, 1 上.,设 f(x)=x2 -mx+4, 则等价于 =m2 -160;,等价于:,解得实数 m 取值的集合 A=(-5, 5).,故所求实数 m 的取值范围是:,CRA=(-, -55, +).,