,14 函数的极限,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,一、自变量趋于有限值时函数的极限,极限的通俗定义、,极限的几何意义、,极限的局部保号性、,极限的精确定义、,左右极限,极限的通俗定义、,极限的精确定义、,极限的几何意义、,水平渐近线,一、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量的变化趋势： x x0，x x0-0，x x0+0，x ，x -，x +,f (x)=A或f (x) A(当x x0),函数极限的通俗定义： 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值 f(x)无限接 近于某一确定的常数A，那么这个确定的常数A就叫做在这一 变化过程中函数f(x)的极限当x x0时，f(x)以 A为极限记为,分析： 当xx0时，f(x) A当|x-x0| 0 时，|f (x)-A|能任意小 任给e 0， 当|x-x0|小到某一时刻，有|f (x)-A|0， 存在d 0， 使当|x-x0| d 时 ，有|f (x)-A|e ,f (x)=A或f (x) A(当x x0),f (x)=A e0， d0， x：0|x-x0|d ，有|f (x)-A|e ,函数极限的精确定义： 设函数f (x)在点x0的某一去心邻域内有定义如果对于任意 给定的正数e (不论它多么小)，总存在正数d，使得对于适合不等 式0|x-x0|d的一切x ，对应的函数值f (x)都满足不等式 |f (x)-A|e ， 那么常数A就叫做函数f (x)当x x0时的极限，记为,函数极限的几何意义：,则e0， d0， 使当0|x-x0|d 时，,有|f (x)-A|e 的几何意义：,若 f (x)=A，,因此对于任意给定的正数e ，,任意取一正数d ，,当0|x-x0|d 时，都有,|f (x)-A|=|c-c|=0e,成立，所以,举例：,证明: 这里|f(x)-A|=|c-c|=0，,成立,|f (x)- A|=|x- x0| e,当 0|x- x0| d=e 时，,总可取d=e ，,因此对于任意给定的正数e ，,能使不等式,所以,证明：这里|f(x)- A|=|x- x0|，,|f(x)-1|=|(2x-1)-1|=2|x-1|e ，,使当0|x-1|d时，有,只要 |x-1| ，即取d = ,证明： 因为e0，d = 0，,所以,分析： |f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|，为了使|f(x)-A|e ，,证明： 因为e 0 ， d =e 0 ，,所以,只需 |x-1|d ，即取d = e ,|f(x)- 2|=|x-1|e ，,使当0|x-1|d ，有,|f (x)- 2|= | -2|=|x+1-2|=|x-1|，,要使|f (x)-2|e ，,分析：注意函数在x=1是没有定义的 但这与函数在该点是 否有极限并无关系,取0eA,点x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时，就有f(x)0(或f(x)0),极限的局部保号性：,证明：设A0， 取正数e A，根据极限的定义， 对于这个 取定的正数e ，必存在着一个正数d ，当00,点x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时，就有f(x)0(或f(x)0),极限的局部保号性：,定理2 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)，而且,点x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时，就有f(x)0(或f(x)0),极限的局部保号性：,证明： 设f(x)0 假设上述论断不成立，即设A0， 那么 由定理 1 就有 x0 的某一去心邻域 ， 在该邻域内 f(x)0，这与 f(x)0的假定矛盾 所以A 0,左右极限：,x x0-0表示x仅从x0的左侧趋于x0 ，而x x0+0表示x仅从x0 的右侧趋于x0,若当x x0-0时，f(x)无限接近于某常数A，则常数A叫做函数 f(x)当x x0时的左极限，记为,若当x x0+0时，f(x)无限接近于某常数A，则常数A叫做函数 f(x)当x x0时的右极限，记为,讨论：,左极限的e -d 定义： 若e0， d0， x： x0- d xx0，有|f (x)-A|e ，则称 常数A为函数f (x)当xx0时的左极限,左右极限的e -d 定义如何叙述?,例6 函数,当x0时f(x)的极限不存在,因为f(x)的左极限,右极限,所以极限 不存在,若当x 时，f (x)无限接近于某常数A，,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,类似地有 和,记为,f (x)当x 时的极限，,则常数A叫做函数,讨论：,极限的通俗定义：,叙述？三者之间的关系如何？,设f(x)当|x|大于某一正数时有定义如果对于任意给定的 正数e ，总存在着正数X，使得对于适合不等式|x|X的一切x， 对应的函数数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e， 则常数A叫做函数f (x)当x 时的极限,极限的精确定义：,所以 ,证明：,故取X= ,解不等式得 ，,不等式 成立,当|x|X时，,要证存在正数X，,分析：设e是任意给定的正数,因为对e0，,X= ，,使当|x|X时，有,水平渐近线：,直线y=0是函数y = 的图形的水平渐近线,已知 ,如果 ，,例如，函数y=arctanx的图形的水平渐近线有两条：,则直线y=c是函数y=f (x)的,图形的水平渐近线,一般地，,