直线相关与回归,钟崇洲 zcz5460wzmc.edu.cn,英国人类学家 F.Galton首次在自然遗传一书中，提出并阐明了“相关”和“相关系数”两个概念，为相关论奠定了基础。其后，他和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身高、臂长、（伸开大拇指与中指两端的最大长度）做了测量，发现：,历史背景：,儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X）存在线性关系：,回归与相关 regression and correlation,变量间关系问题：年龄身高、肺活量体重、药物剂量与动物死亡率等。,第一节 直线回归 第二节 直线相关 第三节 Spearman等级相关,两个关系： 依存关系：应变量(dependent variable)Y随自变量(independent variable)X变化而变化。 回归分析 互依关系： 应变量Y与自变量 X间的彼此关系 相关分析,实 例,散点图,第一节 直线回归,回归关系：例如血压和年龄的关系，称为直线回归(linear regression)。,目的： 建立直线回归方程( linear regression equation),一、 直线回归方程,一般表达式：,a：截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。,b：斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。 意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。 b0，Y随X的增大而增大（减少而减少） 斜上； b0，Y随X的增大而减小（减少而增加） 斜下； b=0，Y与X无直线关系 水平。 b越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。,二、回归方程参数的计算,最小二乘法原则(least square method)：使各散点到直线的纵向距离的平方和最小。即使 最小。,散点图,回归参数计算的实例,三、回归系数的假设检验,b0原因： 由于抽样误差引起，总体回归系数=0 存在回归关系，总体回归系数 0,公式 ，n2,Sb为回归系数的标准误,SY.X为Y的剩余标准差扣除X的影响后Y的变异程度。,（一） t 检验；,任一点P(X,Y)的纵坐标被回归直线与均数截成3段：,图 应变量Y的平方和划分示意图,SS总SS回归SS残差,（二） 方差分析,SS残差越小，SS回归越大,表明回归模型的预测效果越好。,四、直线回归方程的区间估计,五、回归方程的应用,1. 预测（forecast） （给定X值，估计Y） 2. 控制 （给定Y值范围，求X值范围）,第二节 直线相关,回归 - 变量间的依存关系,相关 - 变量间的互依关系,直线相关(linear correlation)：简单相关(simple correlation)，用于双变量正态分布资料。,图74 相关系数示意图,散点呈椭圆形分布， X、Y 同时增减-正相关（positive correlation)； X、Y 此增彼减-负相关(negative correlation) 。,散点在一条直线上， X、Y 变化趋势相同-完全正相关; 反向变化-完全负相关。,图75 相关系数示意图,X、Y 变化互不影响-零相关(zero correlation),一、 相关系数概念,相关系数(correlation coefficient)，又称积差相关系数（coefficient of product moment correlation），或 Pearson 相关系数（软件中常用此名称） 说明相关的密切程度和方向的指标。 r 样本相关系数,r无单位，-1 r 1。r 值为正 正相关， 为负 负相关； （与回归系数b的符号相同） |r|=1 - 完全相关， |r|=0 - 零相关。,二、相关系数的意义,三、 相关系数的计算,四、相关系数的假设检验,r0原因： 由于抽样误差引起 存在相关关系,公式,，n-2,Sr- 相关系数的标准误,注意：对于同一资料，tbtr，检验完全等价,习惯上，相关系数的绝对值|r|在： 0.3以下，称为微弱线性相关； 0.3-0.5，称为低度线性相关； 0.5-0.8，称为显著线性相关； 0.8以上，称为高度线性相关。,区别：,六、直线回归与相关的区别与联系,1. 资料：, X、Y服从双变量正态分布,Y正态随机变量，X为选定变量,2. 应用 ：,回归 由一个变量值推算另一个变量值,相关 只反映两变量间互依关系,3. 回归系数有单位,相关系数无单位,联系：,七、直线回归与相关的 应用注意事项, 要有实际意义 不能任意“外延” 绘制散点图,第三节 等级相关 rank correlation,适用资料： 不服从双变量正态分布 总体分布类型未知 原始数据用等级表示,等级相关系数 rs（即Spearman Correlation Coefficient）反映两变量间相关的密切程度与方向 。,表7-3 等级相关系数计算表,注意：相同秩次较多时应校正rs。,1、两变量X，Y间存在直线回归关系，即基本上可以确定两者有因果关系。（ ） 2、回归系数越小，两变量相关关系也越不密切。（ ） 3、n=10， r=0.90，可认为两变量呈中高度相关。（ ） 4、直线回归中，b的假设检验结果P0.05，说明该回归方程有应用价值。（ ）,1、相关系数r的意义是 （ ） A. X与Y的从属关系 B. 两总体之间的直线相关关系 C. 表示两变量的相关方向和关系的密切程度 D. 表示X与Y之间的直线相关关系的密切程度和方向 E. 以上都不是,2、在相关分析中，相关系数假设检验时，P值越小，则: A. 两变量相关性越好 B. 结论可信度越大 C. 认为总体具有线性相关的理由越充分 D. 抽样误差越小E. Y随X变化的变化率越大 3. 对两个变量进行直线相关分析，r0.39，P0.05，则说明两个变量之间 （ ） A. 有伴随关系 B. 有数量关系 C. 有因果关系 D. 有直线相关关系 E. 无直线相关关系 4.分析肺活量和身高之间的数量关系，拟用身高值预测肺活量值，则应采用（ ） A. 秩相关分析 B. 相关分析 C. 直线回归分析 D. t检验 E. 以上都不是,5、关于相关与回归的联系，下列说法中不正确的是（ ） A. 对同一组数据若同时计算b和r，它们的正负号是一致的 B. 对同一组数据， b和r的假设检验是等价的 C. 用回归可以解释相关 D.决定系数r2越接近1，说明引入回归的效果越好 E. 对同一组数据，b与r是相等的 6、用最小二乘法确定的直线回归方程，可保证各观察点（ ） A. 距直线的纵向距离相等 B. 距直线的纵向距离的平方和最小 C. 与直线的垂直距离相等 D. 与直线的垂直距离的平方和最小 E. 与横轴的纵向距离的平方和最小,7、在双变量（X，Y）的相关与回归分析中有（ ） A. r值增加，b值增加 B. |r|值增加，|b|值增加 C. r0时b0 D. r0时b 0 E. r = 0时b = 0 8、对直线回归系数进行假设检验，其无效假设H0是（ ） A. = 0 B. = 1 C. 0 D. t0.05，按=0.05 水准，可认为（ ） A. 肺活量与体重大小无关 B. 肺活量随体重增加而增加 C. 体重与肺活量间有函数关系存在 D. 体重与肺活量均值有差别 E. 体重与肺活量间无线性相关关系存在,