用虚功原理确定等效节点力 若三角形单元上作用有集中力g、分布力q(力/面积)和体积力p(力/体积)，则根据静力等效原理，节点力所做的虚功等于三种力所做的虚功。,第四章 平面问题的有限元分析,4-4 等效节点力的计算,计算等效节点力,代入上式，得,由此可知,由体积力引起的等效节点力,由表面力引起的等效节点力,由集中力引起的等效节点力,集中力的等效节点力计算,由于,表面分布力的等效节点力,由于,体积力的等效节点力,由于,形成载荷列阵F,把各单元上的等效节点力Re根据单元的编号迭加到载荷列阵F对应行中,F0 表示作用在各节点上的集中力,R e = F e +Q e +P e,4-5 边界条件的处理和整体刚度矩阵的修正，计算实例,整体刚度矩阵K是奇异阵，必须考虑边界约束条件，排除弹性体的刚体位移。消除了整体刚度矩阵的奇异性之后，才能从方程组 中求解节点位移。 一般情况下，所考虑问题的边界往往已有一定的位移约束条件，排除了刚体运动的可能性。否则，应当适当指定某些节点的位移值，以避免出现刚体运动。在引用这些边界条件以后，待求节点未知量的数目和方程的数目便可相应地减少。 但是在编制程序时，为了避免计算机存储作大的变动，应保持方程原有的数目不变。这时，须引入已知的节点位移。一般有两种方法：划行划列方法及乘大数方法。,若结构物划分为n个节点，它的刚度矩阵为2n行2n列,采用划行划列的方法,根据约束情况若在第一点的水平位移为: u1= 1，在第二节点的水平位移为: u2 = 3，把节点所对应刚度矩阵的行和列第一行和第一列及第三行和第三列, 除主对角元改成1，其余的元素都改成零，同时把左端的F载荷列阵中对应的行改为己知位移值1,3 ，其余的行都减去节点位移值与原来刚度矩阵该行的相应列元素的乘积。,乘大数的方法,把指定位移所对应的主对角元乘大数，一般取1015，把对应的载荷列阵中的载荷改为指定位移值乘对应的主对角元再乘大数。 若u1= 1，u2 = 3 u1所对应 K中的主对角元 k11乘大数1015，对应载荷列阵F中的载荷改为 1*k11*1015 u2所对应 K中的主对角元 k33乘大数1015，对应载荷列阵F中的载荷改为 3*k33*1015。,同理可得,其他方程不变 为此我们就建立了新的方程,由于某些项乘上大数，没有乘大数的项可以忽略。,4-6 有限元分析的实施步骤,根据前面的讨论，现以三角形常应变单元为例来说明应用有限元法求解弹性力学平面问题的具体步骤。,力学模型的确定根据工程实际情况确定问题的力学模型，并按一定比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。,将计算对象进行离散化，即弹性体划分为许多三角形单元，并对节点进行编号。确定全部节点的坐标值，对单元进行编号，并列出各单元三个节点的节点号。, 计算载荷的等效节点力（要求的输入信息）。, 由各单元的常数bi 、ci 、bj 、cj 、bm 、cm 及行列式2 ，计算单元刚度矩阵。,返回,平面问题的有限单元法, 求解线性方程组，得到节点位移。, 计算应力矩阵，求得单元应力，并根据需要计算主应力和主方向。, 整理计算结果（后处理部分）。,为了提高有限元分析计算的效率、达到一定的精度，应该注意以下几个方面。,一. 对称性的利用,在划分单元之前，有必要先研究一下计算对象的对称或反对称的情况，以便确定是取整个物体，还是部分物体作为计算模型。,返回, 组集整体刚度矩阵，即形成总刚的非零子矩阵。, 处理约束，消除刚体位移。,例如，图4-11(a)所示受纯弯曲的梁，其结构对于x、y轴都是几何对称的，而所受的载荷则是对于x轴对称，对于x轴反对称。可知，梁的应力和变形也将具有同样的对称特性，所以只需取1/4梁进行计算即可。取分离体如图4-11(b)所示，对于其它部分结构对此分离体的影响，可以作相应的处理，即对处于y轴对称面内各节点的x方向位移都设置为零，而对于在x轴反对称面上的各节点的x方向位移也都设置为零。这些条件就等价于在图4-11(b)中相应节点位置处施加约束，图中o点y方向施加的约束是为了消除刚体位移。,返回,图4-11,节点的多少及其分布的疏密程度（即单元的大小），一般要根据所要求的计算精度等方面来综合考虑。从计算结果的精度上讲，当然是单元越小越好，但计算所需要的时间也要大大增加。另外，在微机上进行有限元分析时，还要考虑计算机的容量。因此，在保证计算精度的前提下，应力求采用较少的单元。为了减少单元，在划分单元时，对于应力变化梯度较大的部位单元可小一些，而在应力变化比较平缓的区域可以划分得粗一些。,节点的布置是与单元的划分互相联系的。通常，集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点，分布载荷与自由边界的分界点、支承点等都应该取为节点。并且，当物体是由不同的材料组成时，厚度不同或材料不同的部分，也应该划分为不同的单元。,二. 节点的选择及单元的划分,节点编号时，应该注意要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能地小，以便最大限度地缩小刚度矩阵的带宽，节省存储、提高计算效率。 平面问题的半带宽为 B =2 (d+1),还有一点值得注意的是，单元各边的长度不要相差太大，以免出现过大的计算误差或出现病态矩阵。例如，图4-12所示的(a)、(b)两种单元划分，虽然都是同样的四个节点，但(a)的划分方式显然要比(b)的方式好。,三. 节点的编号,(a) (b) 图4-12,平面问题的有限单元法,若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最多为 N =2nB = 4n (d+1) 其中 d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。,例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a)是按长边进行编号，d =7，N =488；而(b)是按短边进行编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号方式节省280个存储单元。,(a) (b) 图4-13,平面问题的有限单元法,四. 单元节点i、j、m的次序,为了在计算中保证单元的面积 不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可得到正确的计算结果。,五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正,整体刚度矩阵的奇异性可以通过考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位移，以达到求解的目的。,返回,平面问题的有限单元法,一般情况下，求解的问题的边界往往已有一点的位移约束条件，本身已排除了刚体运动的可能性。否则的话，就必须适当指定某些节点的位移值，以避免出现刚体位移。这里介绍两种比较简单的引入已知节点位移的方法，这两种方法都可保持原K矩阵的稀疏、带状和对称等特性。,下面我们来实际考察一个只有四个方程的简单例子。, 保持方程组为2n2n系统，仅对K和R进行修正。例如，若指定节点i在方向y的位移为vi ，则令K中的元素k2i, 2i 为1，而第2i行和第2i列的其余元素都为零。R中的第2i个元素则用位移vi 的已知值代入，R中的其它各行元素均减去已知节点位移的指定值和原来K中该行的相应列元素的乘积。,返回,平面问题的有限单元法,假定该系统中节点位移u1 和u2分别被指定为,当引入这些节点的已知位移之后，方程(a)就变成,然后，就用这组维数不变的方程来求解所有的节点位移。显然，其解答仍为原方程(a)的解答。,u1 = 1 ， u2 = 2,平面问题的有限单元法, 将K中与指定的节点位移有关的主对角元素乘上一个大数，如1015，同时将R中的对应元素换成指定的节点位移值与该大数的乘积。实际上，这种方法就是使K中相应行的修正项远大于非修正项。,若把此方法用于上面的例子，则方程(a)就变成,事实上，该方程组的第一个方程为,返回,