4-1电容元件与电感元件 主讲人：谢骁 刘平 叶锐 杨勋,在电路理论中，电容元件是实际电容器的理想化模型，其定义为：一个两端元件，如果在任一时刻t,它所存储的电荷q(t)与其端电压u(t)之间的关系可以用u(t)-q(t)平面上的一条曲线来确定,则称该两端元件为电容元件。,电容元件的定义,如果u(t)-q(t)平面上的曲线为过原点的直线，则称其为线性电容，否则为非线性电容。若曲线不随时间变化，称为非时变电容，否则称为时变电容。,电容的分类,线性电容存储电荷q(t)和端电压u(t)有如下关系: q(t)=Cu(t) (4-1),上式中C为与电荷,电压无关的常量,表示元件存储电荷的能力,称为电容,线性非时变电容u(t)-q(t)关系,电容的单位,在国际单位制中，电容C的单位为法拉（F），但因法拉这个单位太大，所以通常采用微法（F）或皮法（pF）作为电容的单位，其换算关系为,式(4-3)所描述的即是电容的伏安关系。,电容的伏安关系,设电容上流过电流与其两端电压为关联参考方向，如图所示，则根据电流的定义有,将式(4-1) q(t)=Cu(t)代入(4-2)可得,1.电容上流过的电流与它两端电压的变化率成正比。 隔直流 通交流 .频率越高，阻抗越小.,电容基本性质,2.当电容上流过的电流为有限值时，其电压的变化率也必为有限值。这说明电容两端的电压只能连续变化，而不能发生跃变。电容电压连续性，可表示为 (4-4) 等式两边分别为电容电压在t时刻左右极限值.上式说明在 和 时刻电压值是相等的。在动态电路分析中常用这一结论，并称之为“换路理论”。,3.电容是一种“有记忆”的元件。在式（4-3） 可得 （4-5） 由式（4-5）知，任一时刻电容上电压不仅取决于该时刻的电流值，而且取决于从-到所有时刻的电流值，即与t时刻之前电流的全部历史有关,所以电容是一种“有记忆”元件。式（4-5）中u( )称为电容的初始电压,反映 时刻之前电流的全部作用。,电容的储能 在电容的u(t)和i(t)为关联参考方向下，其吸收的瞬时功率为 P(t)=u(t)i(t) (4-6) 由功率的定义 ，可得在t时刻电容吸收的电能为,因为u=(-)=0, 故,上式表明,任一时刻电容的储能只与该时刻电容的电压有关。当电容充电时，储能增加；电容放电时，储能减少。,【例4-1】,图4-3a所示电容中电流,的波形如图4-3,0=0，试分别求t=1s,t=4s时电容上,所示，已知,b,的电压。,解：,0t2s,t2s,由式,可得：,所以,【例4-2】 电路如图4-4（a）所示，开关打开前电路已,处于稳态，在t=0时刻将开关k打开，求电容的初始值,2,+,_,10v,4,0.5f,k,t=0,4,解:因为在t0时，电路已达到稳态，所以电容可看作开路 这时其等效电路如图4-4（b)所示，可求得电容两端的电压 为,根据换路定则，可得,所以开关打开时，电容的初始值为5v.,在这例题中，开关在t=0时刻打开，使电路的结构和 参数突然发生变化，一般将这一过程称为换路。 在动态电路中，换路后的电路初始值的确定是非常 重要的，这一例题给出了最基本的方法。,电感元件定义 定义：一个两端元件，如果在任一时刻穿过电感线圈的磁链(t)与其流过的电流i(t)的关系可以用(t)i(t)平面上的一条曲线来确定，则称此两端元件为电感元件，其符号如图4-5所示。,电感元件是实际电感器的理想化模型，能储存磁能。,图4-5,与电容一样，电感也分为时变，非时变，线性，非线性等类型，本书仅讨论非时变线性电感，其(t)i(t)关系如图4-6所示。,由图4-6可知，线性电感(t)与i(t)的关系可描述为(t)=Li(t),式中，L是与,i无关的常量，表示元件产生磁能的能力，称为该元件的电感量,图4-6,电感特性,在国际单位制中，电感量的单位是亨利（H），1亨利=1韦/安。电感量的单位也可以用毫亨（mH）,微亨（uH）作为单位，它们之间的换算关系是：,电感的单位,在电感上电压、电流为关联参考方向时，由电磁感应定律可得：,将式 (t)=Li(t) 代入上式，得： 这就是电感的伏安关系。,电感的伏安关系,由其伏安关系可以得到电感的如下性质，,2.换路定则：i(t-)=i(i+),即电感上的电流是连续变化的。,1.通直流，隔交流。,电感的性质,3.也是一种“有记忆”的元件，由式 可得:,上式表明，任意时刻电感上的电流不仅取决与该时刻的电压值，而且与其过去的全部历史有关，其中i(t0)称为电感的初始电流，反映了t0时刻之前电压的全部作用。,由功率的定义p(t)=dW(t)/dt可得在t时刻电感储存的磁能为:,电感上的储能与电流的关系 设电感上的电压和电流为关联参考方向，其吸收的瞬时功率可表示为： P(t)=u(t)i(t),因为i(-)=0,故可得,上式表明，在任一时刻电感的储能只与该时刻电感上流过的电流有关。,例：如图a所示电路，电感上的电流波形如图b所示，求电压u(t),电感吸收的功率p(t)，电感上的储能w(t)，并绘出它们的波形。,(a),解：由图b，可得，,由题意知L=2H,由电感的伏安关系可得：,电感上吸收的功率为：,由题意知L=2H,故电感上的储能为:,例4-4 图所示电路,t0时开关K闭合，电路已达到稳态。t=0时刻，打开开关K, 球初始值il(0+), Uc(0+), i(0+), ic(0+), UL(0+)的值。,解：t0时K闭合,电路已达到稳态，此时电容相当于开路，电感相当于短路，故可求得 iL(o-)= =4A Uc(o-)=2i1= iL(o-) 2=4V t=0时K打开，根据换路定则有 iL(o+)=iL(o-)=4A Uc(o+)=Uc(o-)=4V,t= 0+时刻的的等效电路见图（2）所示，其中电容用4V的电压源替代，电感用4 A的电流源替代。由图可得 ic(o+)= = 2A i(o+)=ic(o+)+4=6A UL(o+)=64X3=6V,总结：本节课我们学了电容和电感的定义.伏安关系.及基本 性质。他们的性质都是根据伏安关系得到的，而且都 包括三条。因此我们一定要把电容和电感的伏安关系 理解透彻。用表格表示如下：,