1,形函数及其性质,位移模式,(6-10）,补充：解答的收敛性,2,形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：,性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有,4）形函数的性质,3,（i、j、m）,性质2 在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对 于本单元，有,4,也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘积的性质（等于行列式值或0）证明。,5,性质3 在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有,证,6,性质4 形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为,(6-14）,式中 为 边的长度。,在三角形的形心， 1/3 （面积坐标概念） 在三角形的ij和im边的中点， 1/2,7,计算单元位移函数举例,例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵和位移函数,8,计算单元位移函数举例,由三角形的面积,9,计算单元位移函数举例,(6-11）,举例验证形函数性质；加权平均；内插,10,3、位移模式与解答的收敛性,11,（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有u和v，与此相应，有2个位移函数；,（3）位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。,（2）位移函数是坐标的函数 本单元的坐标系为：x、y；,12,（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。,（5）位移函数中必须包含单元的常应变。,（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。,条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。 条件（6）是单元的位移协调性条件。 理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。 容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。,13, 位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（4）（6）的要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数一般应等于单元节点自由度数。,14,例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。,对任一单元，如单元，取位移函数：,15,、单元的位移函数都是,可以看出： 位移函数在单元内是连续的；,以、的边界26为例,两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。,位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。,16,第三次课 第6章 用有限单元法解平面问题 64、5 单元劲度矩阵与相关问题 （单元分析）,17,回顾：单元分析 取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力： 其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。 单元分析的步骤可表示如下：,18,64、5 单元劲度矩阵与相关问题,1、由单元结点位移表出单元应变 几何方程,2、由单元结点位移表出单元应力 物理方程,3、由单元结点位移表出单元结点力 虚功方程,4、单元劲度（刚度）矩阵及其性质,19,根据几何方程和位移函数可以求得单元应变。,1、由单元结点位移表出单元应变 几何方程,20,1、由单元结点位移表出单元应变 几何方程,根据几何方程和位移函数可以求得单元应变。,21,(6-16a）,1、由单元结点位移表出单元应变 几何方程,根据几何方程和位移函数可以求得单元应变。,22,上式简写一般式：,(6-16b）,式中， B单元应变矩阵。,对本问题，维数为36。它的分块形式为：,子矩阵,(6-17）,根据几何方程和位移函数可以求得单元应变,23,由于 与x、y无关，都是常量，因此B矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是B矩阵与单元结点位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元（精度较低!）。,根据几何方程和位移函数可以求得单元应变,由位移模式可知：当单元尺度足够小时，三角形常应变单元位移的误差量级是单元尺度 或 的二阶小量，应变的误差量级则是相应的一阶小量。,24,平面应力问题的弹性矩阵,2、由单元结点位移表出单元应力 物理方程,只要将上式中的E换成 ，换成 即得平面应力问题的弹性矩阵 。,25,将应变表达式：,(6-18a）,也可写为 ：,(6-18b）,2、由单元结点位移表出单元应力 物理方程,代入物理方程式：,得单元应力：,26,平面应力问题的物理方程,物理方程简化为： 转化成应力分量用应变分量表示的形式：,27,其中：S称为单元应力矩阵，并有,(6-19a）,这里，D是33矩阵，B是36矩阵，因此S也是36矩阵。它可写为分块形式,2、由单元结点位移表出单元应力 物理方程,由于B和 D矩阵都是常量矩阵，因此S矩阵也是常量矩阵。因而单元中任一点的应力分量也都是常量。这表明应力的误差量级与应变相同，也是一阶小量。,28,(6-20）,式(6-20）是平面应力的结果。对于平面应变问题，只要将上式中的E换成 ，换成 即得。,由上式可得子矩阵Si,(6-19b）,其中：,29,(6-21）,同一单元内三角形三节点单元内的应变和应力分量是常量。 但是，相邻单元的bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，因而具有不同的应变和应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在着应变和应力突变现象。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速减小，收敛于平衡被满足。,30,3、由单元结点位移表出单元结点力 虚功方程,31,1) 虚功方程（等价于平衡方程和应力边界条件）,32,2) 结点力与结点位移（实与虚）,33,考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为： 任意虚设位移，结点位移与内部应变为,2) 结点力与结点位移（实与虚）,34,结点力虚功,令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为,35,单元应力虚功,微小矩形 的内力虚功为 整个弹性体的内力虚功为,36,虚功方程的应用,根据虚功原理，得 这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。 虚应变可以由结点虚位移求出：,代入虚功方程,37,接上式，将应力用结点位移表示出 有 令 则 建立了单元的结点力与结点位移之间的关系， 称为单元劲度或刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。,虚功方程的展开,38,由于D中元素是常量，而在线性位移模式下，B中的元素也是常量，且 因此 可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。,4、单元劲度（刚度）矩阵及其性质,39,注意到,即可计算出平面应力三角形单元的刚度矩阵。写成分块形式，有,(6-24）,40,式(6-24)中子矩阵krs为22矩阵，且有,(6-25）,对于平面应变问题，须将上式中的E换为 ， 换为 ，于是有,其中，bi(j,m)、ci(j,m)是形函数式中的系数。,41,(6-26）,对于平面应变问题：,42,平面问题的单元刚度矩阵k不随单元（或坐标轴）的平行移动而改变。 由公式(6-25）、(6-26）知，krs矩阵和其中的br、cr 、 bs、cs （r、s=i、j、m）有关。,三角形单元刚度矩阵的特点,43,44,平面问题的单元刚度矩阵k不随单元的放大或缩小而改变。(板书补充解释),三角形单元刚度矩阵的特点,45,（1）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，kij表示单元第j个自由度产生单位位移(j=1)，其他自由度固定（=0）时，在第i个自由度产生的节点力Fi。,主对角线上元素kii(i=1,nj)恒为正值。,单元刚度矩阵性质（ ）,46,（2）k的每一行或每一列元素之和为零,以上式中第i行为例（板书补充说明）,当所有节点沿x向或y向 都产生单位位移时，,单元作平动运动，无应变，也无应力。则有：,即：k的每一行元素之和为零。根据对称性，每一列元素之和也为零。,47,单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各列元素的总和也如此。,48,（3）k是对称矩阵 由k各元素的表达式，可知k具有对称性。,njnj,对于主对角线元素对称。对称表达式：,kij = kji,49,单元刚度矩阵性质（ 对称性证明 ）,50,单元刚度矩阵性质（ 对称性证明 ）,51,单元刚度矩阵性质（ 对称性证明 ）,虚功概念，互等功定理,52,注意到,(6-24）,对称性得证,53,（4）单元刚度矩阵是奇异矩阵 即k的行列式为零（由行列式性质） 。 单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的。单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡时没有引入约束。承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定的，但位移不是确定的。所以出现性质（3）中的“平动问题”，即单元可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，方程(1-28）的解不是唯一的或不能确定的。由此，单元刚度矩阵一定是奇异的。,54,单元面积:,例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵,求下图所示单元的刚度矩阵，设,55,求下图所示单元的刚度矩阵，设,例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵,1、求B,2、求D,3、求S,56,求下图所示单元的刚度矩阵，设,例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵,求,57,与坐标轴同向为正，反向为负,关于量纲：秒、米、牛为基本量纲，其它为导出量纲,关于结点力与位移的正负号,58,例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵,图示出一平面应力直角三角形单元，直角边长分别为a、b，厚度为h，弹性模量为E，泊松比为，计算单元刚度矩阵。,59,第一步：计算bi、ci和单元 面积A。,表2-1 单元节点坐标和bi、ci值（i、j、m）,参数,节点,单元面积: A=ab/2, 计算步骤,60,第二步：求子矩阵,其他从略。,第三步：形成k 将kii等组集成k 。,61,