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平面向量基本定理 临澧四中数学组:陈宏林,2,当 时,,与 同向,,且 是 的 倍;,当 时,,与 反向,,且 是 的 倍;,当 时,,,且 .,向量共线充要条件,复习:,3,向量的加法:,O,B,C,A,O,A,B,平行四边形法则,三角形法则,共起点,首尾相接,4,问题:(1)向量 是否可以用含有e1、e2的式子来表示呢?怎样表示?,(2)若向量 能够用e1、e2表示,这种表示是否唯一?请说明理由.,引入:,5,O,C,A,B,M,N,新课:,6,O,C,A,B,M,N,7,8,平面向量基本定理,如果e1、e2是平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数a1、a2,使,说明: e1、e2是两个不共线的向量; a是平面内的任一向量; a1,a2实数,唯一确定.,9,a1e1+a2e2=xe1+ye2,(xa1)e1+(ya2)e2=0,(存在性),(唯一性),10,我们把不共线向量e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基底,记为e1,e2, a1e1+a2e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式。,11,例1. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M,设 , ,试用基底a,b表示,实例:,12,例 2. 已知A, B是l上任意两点,O是l外一点,求证:对直线l上任一点P,存在实数t,使 关于基底 的分解式为,13,根据平面向量基本定理,同一平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示,再由已知可得,特殊地,令t= , 点M是AB的中点,则,14,例3.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点且 ,用 表示 .,解:设,15,例4. 已知向量 不共线, 如果向量 与 共线, 求 .,解:由已知得,所以,解得 =1.,16,练习:,17,C,B,A,D,E,F,G,A,B,C,D,E,F,O,18,A,B,C,M,N,O,19,两个向量的夹角,20,课堂小结:平面向量基本定理:,
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