平面向量基本定理 临澧四中数学组：陈宏林,2,当 时，,与 同向，,且 是 的 倍;,当 时，,与 反向，,且 是 的 倍;,当 时，,，且 .,向量共线充要条件,复习:,3,向量的加法：,O,B,C,A,O,A,B,平行四边形法则,三角形法则,共起点,首尾相接,4,问题：（1）向量 是否可以用含有e1、e2的式子来表示呢？怎样表示？,（2）若向量 能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？请说明理由.,引入:,5,O,C,A,B,M,N,新课:,6,O,C,A,B,M,N,7,8,平面向量基本定理,如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a1、a2，使,说明： e1、e2是两个不共线的向量； a是平面内的任一向量； a1，a2实数，唯一确定.,9,a1e1+a2e2=xe1+ye2,(xa1)e1+(ya2)e2=0,(存在性),(唯一性),10,我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2， a1e1+a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式。,11,例1. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设 ， ，试用基底a，b表示,实例:,12,例 2. 已知A, B是l上任意两点，O是l外一点，求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使 关于基底 的分解式为,13,根据平面向量基本定理，同一平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已知可得,特殊地，令t= , 点M是AB的中点，则,14,例3.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点且 ，用 表示 .,解：设,15,例4. 已知向量 不共线， 如果向量 与 共线, 求 .,解：由已知得,所以,解得 =1.,16,练习:,17,C,B,A,D,E,F,G,A,B,C,D,E,F,O,18,A,B,C,M,N,O,19,两个向量的夹角,20,课堂小结:平面向量基本定理：,