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【课标要求】,第4课时 空间向量与空间距离(选学),【核心扫描】,理解点到平面的距离的概念 能灵活运用向量方法求各种空间距离 体会向量法在求空间距离中的作用,两点间的距离,点到平面的距离(重点) 两异面直线间的距离,线面距、面面距向点面距的转化(难点),1,2,3,1,2,空间中的距离,自学导引,想一想:在求两条异面直线间的距离,直线到平面的距离,两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求解吗? 提示 能因为直线与平面平行,两个平面平行时,直线上的点或其中一个平面上的点到另一个平面的距离均相等,而两条异面直线可以构造线面平行,所以在求以上距离时均可转化为点到平面的距离,名师点睛,因此用向量法求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成: (1)求出该平面的一个法向量; (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; (3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离,题型一 求两点间的距离,【例1】,规律方法 求两点间的距离的向量法主要是坐标法(易建系的)和基向量法(各基向量的模和夹角已知或可求),利用向量模的定义求解,如图所示,在120的二面角 AB中,AC,BD且ACAB,BDAB,垂足分别为A、B,已知ACABBD6,试求线段CD的长,【变式1】,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,利用向量法求点C1到A1C的距离 思路探索 本题可先建系,再按求点线距的步骤求解,题型二 求点到直线的距离,【例2】,规律方法 利用向量求点线距时,不用找到点在直线上的垂足,直接按向量法的求解步骤来求就行,同时线上的点可以任意取,但一般选择特殊点,同时直线的方向向量也可以任意取,如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD,若已知AB3,AD4,PA1,求点P到BD的距离,【变式2】,解 如图,分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),,题型三 求点到平面的距离,【例3】,规范解答取CD的中点O,连结OB,OM,则OBCD,OMCD,又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD. 以O为坐标原点,分别以直线OC,BO,OM为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz. 3分,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E、F、G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离,【变式3】,线段AB在平面内,AC,BDAB,且BD与所成角是30,如果ABa,ACBDb,求C、D间距离,误区警示 考虑问题不全面致误,【示例】,求C、D间距离时一定要按C、D两点在平面的同侧还是异侧两种情况分类讨论,分类讨论是数学解题中的一个重要思想方法,是“化整为零,各个突破,再积零为整”的数学策略解决立体几何问题,当几何元素的位置关系不确定时也不能忽略分类讨论思想的应用,
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