用相似变换将实对称阵的对角化,4 实对称阵的相似矩阵,下页,关闭,并不是任何矩阵都能进行相似对角化，但实对称 矩阵一定能够相似对角化，本节通过总结实对称矩阵 的几个特征，说明它一定能相似对角化。,证,定理6,上页,下页,返回,定理5 实对称阵的特征值是实数。,定理7 设A为 n 阶对称阵，是 A 的特征方程的 r 重根，则方阵 AE 的秩 R ( AE ) = nr, 从而对应特征值恰有 r 个线性无关的特征向量。,定理8 设 A 为 n 阶实对称阵，则必有正交阵 P，使 P1AP = , 其中是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角阵。,证 设 A 的互不相等的特征值为 1, 2 , , s ,它们的重数依次是 r1 , r2 , , rs ( r1 + r2 + + rs = n ).,上页,下页,返回,根据定理 5 及定理 7 知，对应特征值i ( i = 1, 2, , s ) , 恰有 ri 个线性无关的实特征向量，把它们正交并单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量，由( r1+ r2 + + rs = n ) , 知这样的特征向量共可得 n 个。,按定理 6 知，对应于不同的特征值的特征向量正交，故这 n 个单位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成的矩阵 P 是正交阵，并有,其中对角阵的对角元素含 r1 个1 , , rs 个s ，恰是的 n 个特征值 。,上页,下页,返回,解,例11,上页,下页,返回,上页,下页,返回,上页,下页,返回,于是得正交阵,上页,下页,返回,综上所述，求正交矩阵P ，使,成为对角矩阵,的具体步骤如下：,(1).求A 的特征值； (2).求A 的特征值对应的n 个线性无关的特征向量； (3). 将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征向量； (4). 将 (3) 中 n 个特征向量单位化，得到 n 个两两正交的单位特征向量； (5). 以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵，且有,上页,下页,返回,注意： (1). 对角矩阵 的对角元要与P 的列向量按顺序排列； (2). 在求重特征值的特征向量时，应尽可能避免正交化过程。即求解齐次线性方程组,的基础解系时，取两两正交的基础解系。,上页,下页,返回,Ex.8,设矩阵,求一个正交矩阵P ，使,为对角矩阵。,解,上页,下页,返回,上页,下页,返回,上页,下页,返回,上页,下页,返回,上页,下页,返回,上页,返回,