2019/1/20,同济高等数学课件,二、无界函数反常积分的审敛法,*第五节,反常积分,无穷限的反常积分,无界函数的反常积分,一、无穷限反常积分的审敛法,反常积分的审敛法,函数,第五章,2019/1/20,同济高等数学课件,一、无穷限反常积分的审敛法,定理1.,若函数,证:,根据极限收敛准则知,存在 ,2019/1/20,同济高等数学课件,定理2 . (比较审敛原理),且对充, 则,证: 不失一般性 ,因此,单调递增有上界函数 ,2019/1/20,同济高等数学课件,说明: 已知,得下列比较审敛法.,极限存在 ,2019/1/20,同济高等数学课件,定理3. (比较审敛法 1),2019/1/20,同济高等数学课件,例1. 判别反常积分,解:,的收敛性 .,由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .,思考题: 讨论反常积分,的收敛性 .,提示: 当 x1 时, 利用,可知原积分发散 .,2019/1/20,同济高等数学课件,定理4. (极限审敛法1),则有:,1) 当,2) 当,证: 1),根据极限定义,对取定的,当 x 充,分大时, 必有, 即,满足,2019/1/20,同济高等数学课件,2) 当,可取,必有,即,注意:,此极限的大小刻画了,2019/1/20,同济高等数学课件,例2. 判别反常积分,的收敛性 .,解:,根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .,例3. 判别反常积分,的收敛性 .,解:,根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .,2019/1/20,同济高等数学课件,定理5.,证：,则,而,2019/1/20,同济高等数学课件,定义. 设反常积分,则称,绝对收敛 ;,则称,条件收敛 .,例4. 判断反常积分,的收敛性 .,解:,根据比,较审敛原理知,故由定理5知所,给积分收敛,(绝对收敛) .,2019/1/20,同济高等数学课件,无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.,二、无界函数反常积分的审敛法,由定义,例如,因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数,的反常积分中来 .,2019/1/20,同济高等数学课件,定理6. (比较审敛法 2),定理3,瑕点 ,有,有,利用,有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.,使对一切充分接近 a 的 x ( x a) .,2019/1/20,同济高等数学课件,定理7. (极限审敛法2),定理4,则有:,1) 当,2) 当,例5. 判别反常积分,解:,利用洛必达法则得,根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .,2019/1/20,同济高等数学课件,例6. 判定椭圆积分,定理4,敛性 .,解:,由于,的收,根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .,2019/1/20,同济高等数学课件,类似定理5, 有下列结论:,例7. 判别反常积分,的收敛性 .,解:,称为绝对收敛 .,故对充分小,从而,据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .,则反常积分,2019/1/20,同济高等数学课件,三、 函数,1. 定义,下面证明这个特殊函数在,内收敛 .,令,2019/1/20,同济高等数学课件,综上所述 ,2019/1/20,同济高等数学课件,2. 性质,(1) 递推公式,证:,(分部积分),注意到:,2019/1/20,同济高等数学课件,(2),证:,(3) 余元公式:,(证明略),2019/1/20,同济高等数学课件,(4),得应用中常见的积分,这表明左端的积分可用 函数来计算.,例如,2019/1/20,同济高等数学课件,内容小结,1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 .,2. 若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课,可通过分项,使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛 .,3. 函数的定义及性质 .,思考与练习,P268 1 (1), (2), (6), (7) ;,5 (1), (2),作业 P268 1 (3), (4), (5), (8) ; 2 ; 3,