1,8.2多元函数的概念,一、二元函数的定义与几何意义 二、二元函数的极限 三、二元函数的连续性,2,二元函数的定义,定义：设D是一个平面点集,若对于D内每个点P(x,y),变量z按照某个确定的对应法则f都有唯一确定的值和它对应,则称f是定义在D上的函数,记为z=f(x,y)。(或记为z=f(P)。),类似地可定义三元及三元以上函数: u=f(x,y,z),当n2时,n元函数统称为多元函数。,多元函数同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。,二元函数有两个自变量,故其定义域是一个平面上的区域：Df=(x,y)| 。,3,例题与讲解,例求函数定义域：,解：,所求定义域为,4,例题与讲解,例：求下面二元函数的定义域,解 由分子,知x、y应满足,由分母,知x、y应满足,且,故定义域为,且,5,二元函数的图形,定义：,二元函数的图形通常是一张曲面.,6,二元函数的极限,描述性定义：当二元函数z=f(x,y)定义域Df内的动点P(x,y)无限趋近定点P(x0,y0)时,相应的函数值无限接近某确定的常数A,则称当xx0, yy0时函数z=f(x,y)以为A极限。记：,注意：对于一元函数的极限,自变量只要沿x轴从左右两个方向趋向于x0时,函数值变化趋势一致就够了 。,而对于二元函数极限,动点PP0的方式要复杂得多。因为平面上,动点趋向于定点的方式有很多,只有动点P以各种可能的方式趋向于定点时,函数的极限都存在且相等,这时才算,存在。,7,二元函数极限的分析定义,定义：,8,例题与讲解*,例：求证,证,当 时，,结论成立,9,极限计算,10,例题与讲解,例：求极限,解,其中,有界量与无穷小量之积,11,例题与讲解(证明),12,例题与讲解,例：证明,不存在。,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,13,多元函数的连续性,定义：设n元函数f(P)的定义域为点集D,P0是其聚点且P0D，如果,则称n元函数f(P)在点P0处连续。,间断点：设P0是n元函数f(P)定义域D的聚点,如f(P)在点P0处不连续,则称P0是函数f(P)的间断点。,多元连续函数的性质：与一元函数类似。有:连续的四则运算、复合运算性质;最值定理、介值定理;初等函数在定义区域内连续等。,14,例题与讲解,例：讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取 y=kx,其值随k 的不同而变化，故极限不存在。,所以，函数在 (0,0) 处不连续。,15,例题与讲解,例：讨论函数,在(0,0)的连续性,解：,(极限四则运算性质),(无穷小性质),即f(x,y)在(0,0)的连续。,16,例题与讲解,例：求极限,解,(初等函数连续性),