铜鼓中学数学组1.知识与技能(1)理解分数指数幂的含义,掌握分数指数幂和根式之间的互化;(2)掌握有理数指数幂的运算性质;(3)培养学生观察、分析、抽象的能力.2.过程与方法(1)通过指数幂的概念及其运算性质的拓展,引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性;(2)通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系,培养学生能辨证地分析问题、认识问题.3.情感、态度与价值观(1)本节安排的内容蕴涵了类比的思想(指数幂运算律的推广),逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂);(2)通过研究指数由“整数指数幂根式分数指数幂有理数指数幂实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程,使学生认同科学是在不断地观察、实验、探索和完善中前进的.重点:根式与分数指数幂的互化与有理数指数幂的运算性质.难点:分数指数幂概念的理解及有理数指数幂的运算.重难点的突破:分数指数是指数概念的又一次推广,分数指数概念是教学中的又一个难点.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义,明确分数指数幂是根式的一种新的写法,并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解.对于有理数指数幂的运算可引导学生类比整数指数幂的运算性质进行学习,然后通过题组训练,采用师生互动、讲练结合的方式,突出重点、化解难点.1.指数n个相同的因数a相乘,即aaaa记作an,an叫做a的n次幂,这时a叫做底数,n叫做指数.本来幂的指数总是正整数,后来随着数的扩充,指数的概念也不断发展.正整数指数幂,特别是与计算面积、体积密切联系的平方和立方的概念,在一些文明古国很早就有了.我国汉代曾有人提出过负整数指数的概念,可惜未曾流传开来.15世纪末,法国数学家休凯引入了零指数的概念.17世纪,英国瓦利士在他的无穷小算术中提出了负指数,他写道:“平方指数倒数的数列,的指数是-2,立方指数倒数的数列,的指数是-3,两者逐项相乘,就得到五次幂倒数的数列,它的指数显然是(-2)+(-3)=-5.同样,平方根倒数的数列,的指数是-,.”这是一个巨大的进步,不过瓦利士没有真正使用指数符号2-2,2-3,只是说,的指数是-2,-3和-,.分数指数幂最早出现在奥力森的比例算法中,他使用的符号并不简洁.现行的分数指数和负数指数符号是牛顿创设的,他在1676年6月13日写信给莱布尼茨,里面说道,“因为代数学家将aa,aaa,aaaa等写成a2,a3,a4等,所以我将写成;又将写成a-1,a-2,a-3”.信中的“”与“”就是现在的.而且,牛顿还首先使用了任意实数指数.18世纪以后,人们发现复数a+bi还可用三角式r(cos +isin )及指数式rei表示(r是模,是辅角),从而得到了一般复数指数的概念.1679年,莱布尼茨写信给荷兰数学家惠更斯讨论方程xx-x=24,xz+zx=b,xx+zz=c,这是引入变指数的 .指数概念形成后,欧拉才把对数建立在指数的逆运算的基础上,这就是现行教科书采用的方法.2.无理数指数幂(1)无理数指数幂引入的意义:无理数指数幂的引入为接着学习指数函数提供了预备知识.(2)无理数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂的运算.(3)理解无理数指数幂的思想、方法:无理数指数幂理解的方法是无限逼近、极限的思想方法.(4)数学与科学技术的关系:无理数指数幂带有极限的思想,如果没有计算器那是根本无法完成的.了解教材中的例子,学生才能信服无理数指数幂确实也是一个确定的实数.数学的发展与现代技术的发展是紧密联系的,没有现代技术的发展,数学就不可能得到发展,同样,数学的发展又推动了现代技术的发展;因此有必要让学生了解现代技术在数学学习中的作用,让学生体会到数学和现代技术的融合.1.已知x=),nN*,求(x+)n的值.解:1+x2=1+)2=1+-2+)=+2+)=,).x+)+)=.(x+)n=()n=5.2.计算:.解:原式=2=2=2=2=2=2=2=2-.第 4 页 共 4 页