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2016 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。1.已知集合 P=,Q=,则 P=A.2,3 B.(-2,3 C.1,2) D.2.已知互相垂直的平面交于直线 l,若直线 m,n 满足,则A.B. C. D.3.在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影,由区域中的点在直线 x+y-2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得 B.使得C.使得 D.使得5.设函数,则的最小正周期A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,但与 c 无关C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关6.如图,点列分别在某锐角的两边上,且, ,.(表示点 P 与 Q 不重合)学.科.网若,为的面积,则A.是等差数列 B.是等差数列C.是等差数列 D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合,分别为的离心率,则A.且 B.且C.且 D.且8.已知实数.A.若则 B.若则C.若则D.若则二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。9.若抛物线上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是.10.已知,则 A=,b=.11.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是 cm2,体积是cm3.12.已知,若,则 a=,b=.13.设数列的前 n 项和为,若,则=,=.14.如图,在中,AB=BC=2,.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D,满足 PD=DA,PB=BA,则四面体 PBCD 的体积的最大值是.15.已知向量 a,b,|a|=1,|b|=2,学.科.网若对任意单位向量 e,均有|ae|+|be|,则 ab 的最大值是.三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16.(本题满分 14 分)在 中,内角 所对的边分别为 ,已知ABC, ,abc2cosaB()证明: 2()若 的面积 ,求角 A 的大小. 学科.网24aS17.(本题满分 15 分)如图,在三棱台 中,已知平面 BCFE 平面 ABC, ,ABCDEF 90ACB, , ,1BEFC2B3()求证: ACFDB平 面()求二面角 的余弦值.-18. (本题满分 15 分)设 ,函数 ,3a2()min|1|,42Fxxax其中()求使得等式 成立的 x 的取值范围2()42Fx() (i)求 的最小值 ()a(ii)求 在 上的最大值 学.科网()x0,6()M19.(本题满分 15 分)如图,设椭圆 C:21()xya()求直线 被椭圆截得到的弦长(用 a,k 表示)1ykx()若任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离心率的取值范围.(0,1)A20、 (本题满分 15 分)设数列满足 ,1|2na()求证: 1|2(|)(*)naN()若 , ,证明: , .学科&网3|)n|na*浙江数学(理科)试题参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分.1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,满分 16 分.9.9 10. 11.72,32 12.4,2 13.1,121 14. 15. 2,1 12三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。(I)由正弦定理得 ,sinCsincoA故 ,2sincoiscosinAA于是 i又 , ,故 ,所以0,或 ,A因此 (舍去)或 ,2所以, 2(II)由 得 ,学.科.网故有4aS1sinC4ab,sini2ico因 ,得 0s又 , ,所以 C,当 时, ;2A当 时, 4综上, 或 17.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。(I)延长 , , 相交于一点 ,如图所示DACF因为平面 平面 ,且 ,所以,CA平面 ,因此,CF又因为 , , ,所以/ 12为等边三角形,且 为 的中点,则CFCF所以 平面 DA(II)方法一:过点 作 ,连结 FQA因为 平面 ,学科& 网所以 ,则 平面 ,所以 CFAQFA所以, 是二面角 的平面角D在 中, , ,得 RtA3231FQ在 中, , ,得 tQF13cos4所以,二面角 的平面角的余弦值为 DA方法二:如图,延长 , , 相交于一点 ,则 为等边三角形CFC取 的中点 ,则 ,又平面 平面 ,所以, 平面 CFACA以点 为原点,学.科.网分别以射线 , 的方向为 , 的正方向,xz建立空间直角坐标系 xyz由题意得, , ,1,01,0,3, , ,3A,21F,02因此, , C0,3,3A设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为 1,mxyz2,nxyz由 ,得 ,取 ;C0mA1130yxz3,01m由 ,得 ,取 0n2230y,2n于是, cos,4mn所以,二面角 的平面角的余弦值为 DFA3418.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。(I)由于 ,故3a当 时, ,1x2 242110xaxax当 时, 所以,使得等式 成立的 的取值范围为2Fxx2,a(II) (i)设函数 , ,则21fx242gxa, ,min10fxmin所以,由 的定义知 ,即F,af2,34,2a(ii)当 时,0x,Fma0,F2ff当 时,26x2,6ax,348maxF2,6xgg所以,348,42a19本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。(I)设直线 被椭圆截得的线段为 ,由 得1ykxA21ykxa,2210a故, 10x221ak因此22 211kkxaA(II)假设圆与椭圆的公共点有 个,由对称性可设 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 , ,满足4yQQ记直线 , 的斜率分别为 , ,且 , , A1k2120k12k由(I)知, ,221ak22ak故,222121kkaa所以 22221110k由于 , , 得2k20k,11a因此, 2221 ak因为式关于 , 的方程有解的充要条件是1k2,21a所以因此,任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点的充要条件为0,1A3,12a由 得,所求离心率的取值范围为 ce 20e20.本题主要考查数列的递推关系与单调性、学.科.网不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。(I)由 得 ,故12na12na, ,1nn所以 1122312 2n naaaa11n,因此12na(II)任取 ,由(I)知,对于任意 ,mn1121222nmnnmaaa11nm,2故 12mnnaa1322mnn4n从而对于任意 ,均有m32nna由 的任意性得 2na否则,存在 ,有 ,取正整数 且 ,则00n00342lognam0mn,00340 02log324namn与式矛盾综上,对于任意 ,均有 2na
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