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- 1 -2016 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1如图,已知抛物线经过点 A(1,0) 、B(3,0) 、C(0,3)三点(1)求抛物线的解析式(2)点 M 是线段 BC 上的点(不与 B,C 重合) ,过 M 作 MNy 轴交抛物线于 N,若点M 的横坐标为 m,请用 m 的代数式表示 MN 的长(3)在(2)的条件下,连接 NB、NC ,是否存在 m,使 BNC 的面积最大?若存在,求m 的值;若不存在,说明理由考点:二次函数综合题专题:压轴题;数形结合分析:(1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式(2)先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式,已知点 M 的横坐标,代入直线 BC、抛物线的解析式中,可得到 M、N 点的坐标,N、M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长(3)设 MN 交 x 轴于 D,那么BNC 的面积可表示为:S BNC =SMNC +SMNB=MN(OD +DB)= MNOB,MN 的表达式在(2)中已求得,OB 的长易知,由此列出关于 SBNC 、m 的函数关系式,根据函数的性质即可判断出BNC 是否具有最大值解答:解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1) (x3) ,则:a(0+1) (03)=3 ,a=1 ;抛物线的解析式:y=(x+1) (x3)=x 2+2x+3(2)设直线 BC 的解析式为: y=kx+b,则有:- 2 -,解得 ;故直线 BC 的解析式:y =x+3已知点 M 的横坐标为 m,MNy,则 M(m,m +3) 、N(m,m 2+2m+3) ;故 MN=m 2+2m+3(m +3)=m 2+3m(0m3) (3)如图;S BNC =SMNC +SMNB =MN(OD+DB )=MNOB ,S BNC =(m 2+3m)3=(m) 2+ (0m3) ;当 m=时, BNC 的面积最大,最大值为 2如图,抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C点,已知 B 点坐标为(4,0) (1)求抛物线的解析式;(2)试探究ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;(3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求MBC 的面积的最大值,并求出此时 M点的坐标考点:二次函数综合题.专题:压轴题;转化思想分析:(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将 B 点坐标代入解析式中即可- 3 -(2)首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标,然后通过证明ABC 是直角三角形来推导出直径 AB 和圆心的位置,由此确定圆心坐标(3)MBC 的面积可由 SMBC =BCh 表示,若要它的面积最大,需要使 h 取最大值,即点 M 到直线 BC 的距离最大,若设一条平行于 BC 的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点 M解答:解:(1)将 B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:0=16a42,即:a=;抛物线的解析式为:y=x 2x 2(2)由(1)的函数解析式可求得:A(1,0) 、C(0,2) ;OA=1,OC =2,OB=4,即:OC 2=OAOB,又:OCAB ,OACOCB,得:OCA=OBC;ACB= OCA+ OCB=OBC+OCB=90,ABC 为直角三角形,AB 为ABC 外接圆的直径;所以该外接圆的圆心为 AB 的中点,且坐标为:(,0) (3)已求得:B(4,0) 、C(0,2) ,可得直线 BC 的解析式为: y=x2;设直线 lBC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线 l 与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2x2,即: x22x2b=0,且=0 ;44(2b)=0 ,即 b=4;直线 l:y=x4所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点,有:,解得: 即 M(2,3) 过 M 点作 MNx 轴于 N,SBMC =S 梯形 OCMN+SMNB S OCB =2(2+3 )+2324=4- 4 -平行四边形类3如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A(3,0) 、B(0,3) ,点 P是直线 AB 上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M,设点 P 的横坐标为 t(1)分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式(2)若点 P 在第四象限,连接 AM、BM ,当线段 PM 最长时,求 ABM 的面积(3)是否存在这样的点 P,使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由考点:二次函数综合题;解一元二次方程因式分解法;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;平行四边形的判定.专题:压轴题;存在型分析:(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:把 A(3,0)B(0,3)分别代入y=x2+mx+n 与 y=kx+b,得到关于 m、n 的两个方程组,解方程组即可;(2)设点 P 的坐标是(t,t3) ,则 M(t,t 22t3) ,用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标得到 PM 的长,即 PM=(t3)(t 22t 3)=t 2+3t,然后根据二次函数的最值得到- 5 -当 t= =时,PM 最长为 =,再利用三角形的面积公式利用 SABM=SBPM +SAPM 计算即可;(3)由 PMOB ,根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时,点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论:当 P 在第四象限:PM=OB=3,PM 最长时只有,所以不可能;当 P 在第一象限:PM=OB=3, (t 22t 3)(t 3)=3 ;当 P 在第三象限:PM=OB=3,t 23t=3 ,分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值解答:解:(1)把 A(3,0)B(0,3)代入 y=x2+mx+n,得解得 ,所以抛物线的解析式是 y=x2 2x3设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,把 A(3,0)B(0,3)代入 y=kx+b,得 ,解得 ,所以直线 AB 的解析式是 y=x3;(2)设点 P 的坐标是(t,t3) ,则 M(t,t 22t3) ,因为 p 在第四象限,所以 PM=(t3)(t 22t 3)= t 2+3t,当 t= =时,二次函数的最大值,即 PM 最长值为 =,则 SABM =SBPM +SAPM = = (3)存在,理由如下:PMOB ,当 PM=OB 时,点 P、M、 B、O 为顶点的四边形为平行四边形,当 P 在第四象限:PM =OB=3,PM 最长时只有,所以不可能有 PM=3当 P 在第一象限:PM =OB=3, (t 22t 3)(t3) =3,解得t1= ,t 2= (舍去) ,所以 P 点的横坐标是 ;当 P 在第三象限:PM =OB=3,t 23t =3,解得 t1= (舍去) ,t 2= ,所以 P点的横坐标是 所以 P 点的横坐标是 或 - 6 -4如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为 A(0,1) ,B(2,0) ,O(0,0) ,将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90,得到ABO(1)一抛物线经过点 A、B、B,求该抛物线的解析式;(2)设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点 P,使四边形 PBAB 的面积是A BO 面积 4 倍?若存在,请求出 P 的坐标;若不存在,请说明理由(3)在(2)的条件下,试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形?并写出四边形PBAB 的两条性质考点:二次函数综合题.专题:压轴题分析:(1)利用旋转的性质得出 A(1,0) ,B(0,2) ,再利用待定系数法求二次函数解析式即可;(2)利用 S 四边形 PBAB=SBOA +SPB O+SPOB ,再假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍,得出一元二次方程,得出 P 点坐标即可;(3)利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 PBAB 为等腰梯形,利用等腰梯形性质得出答案即可- 7 -解答:解:(1)ABO 是由ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得到的,又 A(0,1) ,B(2,0) ,O (0,0) ,A (1,0) ,B(0,2) 方法一:设抛物线的解析式为:y=ax 2+bx+c(a0) ,抛物线经过点 A、B、B, ,解得: ,满足条件的抛物线的解析式为 y=x 2+x+2方法二:A (1,0) ,B(0,2) ,B(2,0) ,设抛物线的解析式为:y=a(x+1) (x2)将 B(0,2)代入得出:2= a(0+1) (02) ,解得:a=1,故满足条件的抛物线的解析式为 y=(x+1) (x2)=x 2+x+2;(2)P 为第一象限内抛物线上的一动点,设 P(x ,y) ,则 x0,y0,P 点坐标满足 y=x 2+x+2连接 PB,PO ,PB,S 四边形 PBAB=SBOA +SPBO +SPOB ,=12+2x+2y,=x+( x2+x+2)+1,=x 2+2x+3A O=1,B O=2,ABO 面积为:12=1,假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍,则4=x 2+2x+3,即 x22x+1=0,解得:x 1=x2=1,此时 y=1 2+1+2=2,即 P(1,2) 存在点 P(1,2) ,使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍 (3)四边形 PBAB 为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意 2 个均可- 8 -等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形对角线相等;等腰梯形上底与下底平行;等腰梯形两腰相等(10 分)或用符号表示:B AB=PBA或A BP=BPB;PA=BB;BPAB;BA=PB(10 分)5如图,抛物线 y=x22x +c 的顶点 A 在直线 l:y=x5 上(1)求抛物线顶点 A 的坐标;(2)设抛物线与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于点 C、D(C 点在 D 点的左侧) ,试判断ABD的形状;(3)在直线 l 上是否存在一点 P,使以点 P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由考点:二次函数综合题.专题:压轴题;分类讨论分析:(1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴,由此得到顶点 A 的横坐标,然后代入直线 l 的解析式中即可求出点 A 的坐标- 9 -(2)由 A 点坐标可确定抛物线的解析式,进而可得到点 B 的坐标则 AB、AD、BD 三边的长可得,然后根据边长确定三角形的形状(3)若以点 P、A、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形,应分AB 为对角线、AD 为对角线两种情况讨论,即AD PB、AB PD,然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出 P 点的坐标解答:解:(1)顶点 A 的横坐标为 x= =1,且顶点 A 在 y=x5 上,当 x=1 时,y =15=4,A(1,4) (2)ABD 是直角三角形将 A(1,4)代入 y=x22x +c,可得,12+ c=
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