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全等三角形一、选择题1、 (2016 苏州二模)如图 , 和 均是边长为 2 的等边三角形,点 是ABCEFGD边 、 的中点 ,直线 、 相交于点 .当 绕点 旋转时,线段BCEFM长的最小值是 ( )MA. B. C. D. 2331231答案 :D2、 (2016 青岛一模)如图,在ABC 中,C=90,AB=5cm,AC=4cm,点 D 在 AC 上,将BCD 沿着 BD 所在直线翻折,使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处,则 DC 的长为()A cm B cm C2cm D cm【考点】翻折变换(折叠问题)【分析】首先由勾股定理求出 BC,由折叠的性质可得BED=C=90,BE=BC=3cm,得出 AE=ABBE=2cm,设 DC=xcm,则 DE=xcm,AD=(4x)cm,由勾股定理得出方程,解方程即可【解答】解:C=90,AB=5cm,AC=4cm,BC= =3cm,将BCD 沿着直线 BD 翻折,使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处,BEDBCD,BED=C=90,BE=BC=3cm,AE=ABBE=2cm,设 DC=xcm,则 DE=xcm,AD=(4x)cm,由勾股定理得:AE 2+DE2=AD2,即 22+x2=(4x) 2,解得:x=故选:B3(2016新疆乌鲁木齐九十八中一模)如图,边长为 2a 的等边三角形 ABC 中,M是高 CH 所在直线上的一个动点,连接 MB,将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN,连接 HN则在点 M 运动过程中,线段 HN 长度的最小值是()A aBa C D【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质【分析】取 CB 的中点 G,连接 MG,根据等边三角形的性质可得 BH=BG,再求出HBN=MBG,根据旋转的性质可得 MB=NB,然后利用“边角边”证明MBGNBH,再根据全等三角形对应边相等可得 HN=MG,然后根据垂线段最短可得 MGCH 时最短,再根据BCH=30求解即可【解答】解:如图,取 BC 的中点 G,连接 MG,旋转角为 60,MBH+HBN=60,又MBH+MBC=ABC=60,HBN=GBM,CH 是等边ABC 的对称轴,HB= AB,HB=BG,又MB 旋转到 BN,BM=BN,在MBG 和NBH 中,MBGNBH(SAS),MG=NH,根据垂线段最短,MGCH 时,MG 最短,即 HN 最短,此时BCH= 60=30,CG= AB= 2a=a,MG= CG= a= ,HN= ,故选:D【点评】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,垂线段最短的性质,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键,也是本题的难点4. (2016上海市闸北区 中考数学质量检测 4 月卷)如图,已知 BDACDA,则不一定能使ABDACD 的条件是( )(A)BDDC (B )ABAC (C)B C (D )BADCAD答案:B5. (2016湖南湘潭一模)如 图,在 和 中,已知 ,还需ABCDEDEAB添加两个条件才能使 ,不能添加的一组条件是A , ECBB , DAC , D ,答案:C 6. (2016广东东莞联考)如图,过ABCD 的对角线 BD 上一点 M 分别作平行四边形两边的平行线 EF 与 GH,那么图中的AEMG 的面积 S1 与HCFM 的面积 S2 的大小关系是()AS 1S 2 BS 1S 2 CS 1=S2 D2S 1=S2【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形 GBEP、GPFD,证ABDCDB,得出ABD 和CDB 的面积相等;同理得出BEM 和MHB 的面积相等,GMD 和FDM 的面积相等,相减即可求出答案【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形,EFBC,HG AB,AD=BC,AB=CD,ABGHCD,ADEFBC ,四边形 HBEM、GMFD 是平行四边形,在ABD 和CDB 中; ,ABDCDB(SSS),即ABD 和CDB 的面积相等;同理BEM 和MHB 的面积相等,GMD 和FDM 的面积相等,故四边形 AEMG 和四边形 HCFM 的面积相等,即 S1=S2故选:C【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是求出ABD 和CDB 的面积相等,BEP 和PGB 的面积相等,HPD 和FDP 的面积相等,注意:如果两三角形全等,那么这两个三角形的面积相等7. (2016广东深圳一模)如图,过边长为 3 的等边ABC 的边 AB 上一点 P,作PEAC 于 E,Q 为 BC 延长线上一点,当 PA=CQ 时,连接 PQ 交边 AC 于点 D,则 DE 的长为()A B C D不能确定【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的性质;等腰三角形的性质;等边三角形的性质;等边三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】过 P 作 PFBC 交 AC 于 F,得出等边三角形 APF,推出 AP=PF=QC,根据等腰三角形性质求出 EF=AE,证PFDQCD,推出 FD=CD,推出 DE=AC 即可【解答】解:过 P 作 PFBC 交 AC 于 F,PFBC,ABC 是等边三角形,PFD=QCD,APF= B=60,AFP=ACB=60, A=60,APF 是等边三角形,AP=PF=AF,PEAC,AE=EF,AP=PF,AP=CQ,PF=CQ,在PFD 和QCD 中,PFDQCD,FD=CD,AE=EF,EF+FD=AE+CD,AE+CD=DE=AC,AC=3,DE=,故选 B【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,平行线的性质等知识点的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力,题型较好,难度适中2、填空题1 (2016天津市和平区一模)如图,ABC 和 CDE 都是等边三角形,且EBD=66,则AEB 的大小=126【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质【分析】由等边三角形的性质得出 BC=AC,ABC=ACB=BAC=DCE=60,CD=CE,得出BCD=ACE,由 SAS 证明BCDACE,得出CBD=CAE,再证明CBD6=ABE,得出ABE=CAE6,求出ABE+BAE=BAC6,即可求出AEB 的大小【解答】解:ABC 和CDE 都是等边三角形,BC=AC,ABC=ACB=BAC=DCE=60,CD=CE,BCD=ACE,在BCD 和ACE 中, ,BCDACE(SAS),CBD=CAE,EBD=66,CBD=ABE+(6660)ABE=CAE6,ABE+BAE=CAE+BAE6=BAC6=54,AEB=18054=126;故答案为:126【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键2 (2016天津五区县一模)如图,AB=AC,要使ABEACD,应添加的条件是B=C 或 AE=AD(添加一个条件即可)【考点】全等三角形的判定【专题】开放型【分析】要使ABEACD,已知 AB=AC,A=A,则可以添加一个边从而利用 SAS来判定其全等,或添加一个角从而利用 AAS 来判定其全等【解答】解:添加B=C 或 AE=AD 后可分别根据 ASA、SAS 判定ABEACD故答案为:B=C 或 AE=AD【点评】本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL添加时注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键三、解答题1(2016重庆巴蜀 一模)如图,点 C,D 在线段 BF 上,ABDE,AB=DF,BC=DE求证:AC=FE【分析】首先由 ABDE,可以得到B=EDF,然后利用 SAS 证明ABC 与DEF 全等,最后利用全等三角形的性质即可解决问题【解答】证明:ABDE,B=EDF,在ABC 与DEF 中,ABCDEF(SAS),AC=FE2(2016重庆巴南 一模)已知:D=E,AD=AE,1=2求证:BD=CE【分析】先证出BAD=CAE,再由 ASA 证明ABDACE,得出对应边相等即可【解答】证明:1=2,BAD=CAE,在ABD 与ACE 中, ,ABDACE(ASA),BD=CE3.(2016重庆铜梁巴川一模)如图,点 C,E,F,B 在同一直线上,点 A,D 在 BC异侧,ABCD,AE=DF,A=D求证:AB=CD【分 析】根据平行线的性质得出 B=C,再根据 AAS 证出ABEDCF,从而得出AB=CD【解答】解:ABCD,B=C,在ABE 和DCF 中,ABEDCF,AB=CD4(2016重庆巴南 一模)如 图,ABCD 中,点 E 是 BC 边上的一点,且 DE=BC,过点 A 作 AFCD 于点 F,交 DE 于点 G,连结 AE、EF(1)若 AE 平分BAF,求证:BE=GE;(2)若B=70,求CDE 的度数(3)若点 E 是 BC 边上的中点,求证:AEF=2EFC【分析】(1)由四边形 ABCD 是平行四边形,DE=BC,易证得AEB=AEG,又由 AE 平分BAF,可证得ABEAGE,即可证得 BE=GE;(1)由(1)可知ABEAGE,故此可知DGF=AGE=70,在 RtDGF 中,利用直角三角形两锐角互余可求得CDE=20;(3)延长 AE,交 DC 的延长线于点 M,易证得ABEMCE,又由 AFCD,可得 EF是 RtAFM 的斜边上的中线,继而证得结论【解答】解:(1)四边形 ABCD 是平行四边形,ADBC,AD=BCDAE=AEBDE=BC,AD=DEDAE=AEDAEB=AEDAE 平分BAF,BAE=GAE在ABE 和AGE 中, ,ABEAGE(ASA)BE=GE(2)由(1)可知:ABEAGE,B=EGA=70DGF=EGA=70AFCD,GFD=90GDF+DGF=90CDE=9070=20(3)延长 AE,交 DC 的延长线于点 M四边形 ABCD 是平行四边形,ABCDBAF=AFD,M=BAE点 E 是 BC 边上的中点,BE=CE在A
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