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人教版八年级数学(上),11.3.1角平分线的性质(1),不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?,再打开纸片 ,看看折痕与这个角有何关系?,(对折),情境问题,已知: (如图) 求作: 的角平分线OC.,1、以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N。,2、分别以M、N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在AOB内部交于点C。,3、作射线OC,射线OC即为所求。,作法:,证明:连结MC,NC由作法知:,1平分平角AOB 2通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系? 3结论:作平角的平分线即可平分平角,由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。,实践应用(1),探究角平分线的性质,(1)实验:将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?,(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,证明:OC平分 AOB (已知) 1= 2(角平分线的定义) PD OA,PE OB(已知) PDO= PEO(垂直的定义) 在PDO和PEO中 PDO= PEO(已证) 1= 2 (已证) OP=OP (公共边) PDO PEO(AAS) PD=PE(全等三角形的对应边相等),已知:如图,OC平分AOB,点P在OC上,PDOA于点D,PEOB于点E 求证: PD=PE,探究角平分线的性质,(3)验证猜想,角平分线上的点到角两边的距离相等。,(4)得到角平分线的性质:,利用此性质怎样书写推理过程?(几何符号语言),角平分线的性质,定理:在角平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为:,1= 2,PD OA ,PE OB PD=PE.,题设:一个点在一个角的平分线上,结论:它到角的两边的距离相等,图1,1:下列两图中,能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是( ),图1,选择题:,2:下列两图中,能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是( ),图1,图1,图2,思考: 要在区建一个集贸市场,使它到公路,铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处米,应建在何处?(比例尺 1:20 000),s,公路,铁路,解: 作夹角的角平分线OC,截取 OD=2.5cm ,D即为所求。,D,C,s,公路,铁路,如图:在ABC中,C=90 AD是BAC的平分线,DEAB于E,F在AC上,BD=DF; 求证:CF=EB,实践应用(2),分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDF RtEDB.,现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件,DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.,试试自己写证明。你一定行!,证明: AD平分C, D是AD上一点(已知),如图:在ABC中,C=90 AD是BAC的平分线,DEAB于E,F在AC上,BD=DF; 求证:CF=EB,DEAB,DCAC(已知),在RTCDF和RTBDE 中 BD=DF (已知) DC=DE(已证),RT CDFRTFDB (HL),CFB(全等三角形对应边相等),DCD(角平分线的性质),1.如图,OC是AOB的平分线, PD=PE,PDOA,PEOB,2.如图,在ABC中,ACBC,AD为BAC的平分线,DEAB,AB7,AC3,求BE= CM.,E,D,C,B,A,4,3.在RtABC中,BD平分ABC, DEAB于E,则: 图中相等的线段有 ;相等的角有: 。 哪条线段与DE相等?为什么? 若AB10,BC8,AC6, 求BE,AE的长和AED的周长。,BE=BC,DE=DC,ABD= CBD,BED= AED= C,6,8,10,回味无穷,2.定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. OC是AOB的平分线, P是OC上任意一点PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,1:画一个已知角的角平分线;,及画一条已知直线的垂线;,
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