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第七章 矩阵的特征值与特征向量的计算,自然科学和工程技术中的许多问题, 如振动问题(桥梁或建筑物的振动、机 械振动、电磁振动等),物理学中某些 临界值的确定等,常常要归结为求矩阵 的特征值和特征向量,即求满足,的数和非零列向量x其中数称为A的 特征值,非零列向量x为A的与特征值对 应的特征向量,,计算n阶矩阵A的特征值,就是求特征方程,的非零解,,而齐次线性,用求解线性方程组的方法去求矩阵A 的特征值只适用于低阶矩阵。当矩阵阶数 较高时,计算稳定性较差,因此,必须寻 求一些在计算机上计算矩阵的特征值和特 征向量的较为稳定的数值方法。,方程组 的非零解xi就是i对应的特征向量。,幂法是求实矩阵A的主特征值(即矩 阵A的按模最大的特征值)及其对应特征 向量的一种迭代方法。,幂法,幂法的基本思想:任取一个非零初 始向量x(0) ,由矩阵A构造一个向量序列 x(0),x(1),x(2),x(k),满足以下条件,上述向量称为迭代向量,因为各特征 向量是线性无关,所以初始向量x(0)可表示 为矩阵A的特征向量vi的一个线性组合,即,并假定10,于是,(7-1),下面分几种情况讨论: 1A有一个主特征值1, 即,当k充分大的时候,,即,由上面的讨论,得,表示向量x(k)的第i个分量,因此Akx(0)可近似的表示矩阵A与1对 应的特征向量(特征向量可以相差一个常 数因子)。,当k很大时,,2A的主特征值是二重根,,3. 两个主特征值互为相反数,,当k充分大时,,例:用幂法计算矩阵,的主特征值及其对应的特征向量。,解:取x(0)=1,1,1T,由迭代向量,进行计算,计算结果如下:,由上表可算得,可见第一个分量已趋于稳定,而对于第2、第3个分量:,由此可得13.41,因为A7x(0)=(792, -1120,792)T。而特征向量可相差一个常 数因子,所以取与主特征值1相对应的 特征向量为,讨论:,可以看出,当,时,Akx(0)的分量会趋于无穷大;当,时,Akx(0)的分量又会趋于零,因此 在实际计算中需要做适当的规范化,避 免发生计算机的上溢和下溢现象。 幂法的收敛速度,虽然和初始向量 x(0)的选取有关,但主要取决于比值,的大小。,由,作业,补充题:取x(0)=1,0T,用幂法计算矩阵 的特征值和特征向量。,
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