测试信号分析与处理课程,第二章 连续时间信号分析,第一节 周期信号分析 第二节 非周期信号的频域分析 第三节 周期信号的傅里叶变换 第四节 采样信号分析,介绍周期信号的分解和傅立叶级数，从频域来描述和分析连续时间信号。,第一节 周期信号分析,如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应？由此分析，要解决什么样的关键问题？-信号分解。 信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信号的研究往往是在一个周期内进行。,第一节 周期信号分析,一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在各基函数中的分量； 一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则是正交函数集 。 从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交函数集来表示。 若此函数集不仅是正交而且完备，则用他来表示信号时将没有误差。,第一节 周期信号分析,（一）用完备正交实变函数集来分解信号 函数f(t)与g(t)在区间 上正交的条件是 例2-1 在 内， 与 是正交的。 两个函数是否正交，必须指明在什么区间内。,第一节 周期信号分析,（二）用完备正交复变函数集来分解信号 复变函数集 ,r=1,2,.,n在区间 上是正交函数集的条件是 例2-2 若 ，在 内，指数函数集 是正交函数集。 证明： 三角函数集和指数函数集是应用最广的完备正交集。,第一节 周期信号分析,一、三角函数形式的傅里叶级数 用完备正交函数集 对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。 进行傅立叶展开的周期函数f(t)必须满足狄里赫利 （Dirichlet）条件，即在周期 内，函数f(t) 1）若有间断点存在，则间断点数目必须有限； 2）极大值和极小值数目应该是有限个； 3）应是绝对可积的，即 在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条件。,第一节 周期信号分析,周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式 其中，,结论： 任何周期信号，可以分解为直流分量和无穷多个弦波分量的叠加。 幅度谱 相位谱 周期信号幅度谱和相位谱的特点,第一节 周期信号分析,例2-3 周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间 内的数学表达式为,第一节 周期信号分析,二、指数函数形式的傅里叶级数 在 内可以用指数函数集来表示周期信号f(t)。 式中,第一节 周期信号分析,例2-4 周期对称方波如图所示。它在一个周期内的表 达式为,第一节 周期信号分析,三、 周期信号的功率谱 信号能量 能量有限信号 ： 平均功率： 功率有限信号：信号f(t)在时间（-,+）上的平 均功率 ,第一节 周期信号分析,周期信号f(t)的平均功率与傅里叶系数有右示关系 这是周期信号的帕斯瓦尔（Parseval）公式。它说明周期信号的平均功率等于直流、基波和各次谐波分量有效值的平方和。 与 的关系图，称为周期信号的功率谱,表示信号各次谐波分量的功率分布规律。,第一节 周期信号分析,四、周期信号频谱的基本性质 线性 延时性 频移特性,第二节 非周期信号的频域分析,一、信号的卷积 任意一个函数都可以分解为一系列矩形窄脉冲分量之和。 卷积积分,结论：信号的时域分解表示为一系列矩形窄脉冲分量之和。,任意输入信号作用与线性系统，输出等于输入与单位冲激响应的卷积积分，卷积积分计算可以利用解析法、图解法及性质求解。,第二节 非周期信号的频域分析,卷积积分的图解法 变量置换、折叠、移位,第二节 非周期信号的频域分析,第二节 非周期信号的频域分析,相乘、积分,第二节 非周期信号的频域分析,二、 非周期信号的傅里叶变换 频谱函数 原函数,第二节 非周期信号的频域分析,傅立叶正变换 傅立叶反变换,非周期傅立叶变换的物理意义？,第二节 非周期信号的频域分析,三、典型非周期函数的傅里叶变换 单位冲激函数的傅里叶变换 单边指数函数的傅里叶变换 式中，,第二节 非周期信号的频域分析,单位阶跃函数的傅里叶变换 由于 时，u(t)不符合绝对可积条件，即不 存在 ，不能直接进行傅里叶变换。为了 解决这问题，可以由单边指数函数的极限状态来逼近 函数u(t)。,第二节 非周期信号的频域分析,第二节 非周期信号的频域分析,复指数函数的傅里叶变换 该函数不符合绝对可积条件，可借助于冲激函数的傅里叶变换对 。,第二节 非周期信号的频域分析,四、傅里叶变换的性质,1. 线性(Linear Property),若,，,则对于任意常数a1和a2，有,证明: F a1 x1(t) + a2 x2(t),= a1 X1() + a2 X2() ,2. 对偶性(Symmetrical Property),若 x (t) X() 则,证明:,（1）,in (1) t ，t then,（2）,in (2) - then, X(t) 2x () end,X( t ) 2x (),3. 尺度变换性质(Scaling Transform Property),若 x (t) X() 则,其中 “a” 为不等于零的实常数。,证明：,F x (a t ) =,For a 0,F x (a t ) ,for a 0,F x (a t ) ,That is ,如果 a = -1,有,x (- t ) X( -),尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频谱函数的扩展与压缩。,例如,若 x (t) X() 则,其中“t0” 为实常数。,证明： F x (t t0 ) ,4. 时移性质(Timeshifting Property),时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移 。,若 x (t) X() 则,证明：,其中 “0” 为实常数。,F e j0t x(t),= X(-0) end,5. 频移性质(Frequency Shifting Property),频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上 右移 单位，在时域就对应于其时间信号x(t)乘以 。,例1,x(t) = ej3t X() = ?,Ans: 1 2() ej3t 1 2(-3),例2,x(t) = cos0t X() = ?,Ans:,X() = (+0)+ (-0),例3,Given that x(t) X(),The modulated signal x(t) cos0t ?,Ans:,6. 时域微分(Differentiation in time domain),证明：,两边对t求导，得,所以,x(t)= 1/t2 ?,例1,Ans:,例 2,Determine x (t) X (),Ans:,x ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2),X2()= F x”(t) = (j )2 X ()= e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2,X () =,7. 卷积定理(Convolution Property),时域卷积（Convolution in time domain）：,If x1(t) X1()， x2(t) X2() Then x1(t)*x2(t) X1()X2(),频域卷积（Convolution in frequency domain）：,If x1(t) X1()， x2(t) X2(),Then x1(t) x2(t) X1()*X2(),证明：,F x1(t)*x2(t) =,利用时移性质，,所以,F x1(t)*x2(t) =,= X1()X2(),根据时域卷积定理，有,其实，y(t) 是脉宽为2、脉高为的三角脉冲。,例 1,Ans:,例 2,Ans:,利用对偶性，,例3,调制,解调,第三节 周期信号的傅立叶变换,周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换对。 傅立叶级数展开式 式中， 两边傅立叶变换,（1）周期信号的傅里叶变换是由冲激函数组成的冲激串。,特点：,（2）冲激串的频率间隔为1=2/T ，冲激位于周期信 号的谐频处，冲激强度为Fn的2倍。,Fn易求时,F0(n1)易求时,第三节 周期信号的傅立叶变换,周期信号傅里叶变换所得到的是频谱密度函数，在这里它是冲激函数，它表示在无穷小频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱值，而不像傅里叶级数的相应系数所表示的是谐频分量的幅值。,例2-5：周期为T的单位冲激周期函数T(t)=,解：,冲激周期函数的傅里叶系数,周期信号如图，求其傅里叶变换。,解：周期信号x(t)也可看作一时限非周期信号x0(t)的周期拓展。,周期信号傅里叶级数的系数,第四节 采样信号分析,一、连续时间信号的采样过程,第四节 采样信号分析,连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号 的频谱 的幅值将是连续时间信号频谱 的 倍，并 从开始，沿频率轴正、负方向，每隔一个采样频率 重复一次。,第四节 采样信号分析,二、时域采样定理（香农采样定理） “频率混迭”现象 香农采样定理 要使采样信号的频谱不出现频率混迭就必须要求： 连续时间信号必须是带限信号； 采样器的采样频率必须满足 实际工程应用中，采样频率一般大于连续时间信号中最高频率的2倍，可选4倍10倍。,第四节 采样信号分析,三、采样信号的恢复 低通滤波器特性 采样信号频谱经过该理想滤波器后，就可以得到原连续时间信号的频谱。 再由 恢复的连续时间信号,第四节 采样信号分析,四、 采样信号恢复的内插公式,第四节 采样信号分析,采样内插公式 特点：在采样点上，其函数值为1，而在其他采样点上函数值为零。 用内插公式将采样信号恢复为连续时间信号虽然准确，但是却难以实现，因为在各点采样间的连续信号的值要靠无穷项求和得到。,第四节 采样信号分析,实际上，常用两种近似的内插方法来恢复原来的连续时间信号，这就是“零阶保持法”和“一阶保持法” 。,