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用Matlab学习线性代数线性方程组与矩阵代数实验目的:熟悉线性方程组的解法和矩阵的基本运算及性质验证。Matlab命令:本练习中用到的Matlab命令有:inv,floor,rand,tic,toc,rref,abs,max,round,sum,eye,triu,ones,zeros。本练习引入的运算有:+,-,*,。其中+和-表示通常标量及矩阵的加法和减法运算;*表示标量或矩阵的乘法;对所有元素为实数的矩阵,运算对应于转置运算。若为一个非奇异矩阵(det!=0)且为一个矩阵,则运算等价于。实验内容:1 用Matlab随机生成的矩阵和。求下列指定的,并确定那些矩阵是相等的。你可以利用Matlab计算两个矩阵的差来测试两个矩阵是否相等。(1)C=A*B,D=B*A,G=(A*B),H=(B*A) C=H;D=G;(2)C=A*B,D=(A*B),G=B*A,H=(B*A) C=H;D=G;(3)C=inv(A*B),D=inv(A)*inv(B),G=inv(B*A),H=inv(B)*inv(A)(4)C=inv(A*B),D=inv(A*B),G=inv(A)*inv(B),H=(inv(A)*inv(B)(3)(4)中无相等的2 令 n=200,并使用命令A=floor(10*rand(n); b=sum(A)z=ones(n,1); 注释:(n行一列全为1的矩阵)生成一个矩阵和两个中的向量,它们的元素均为整数。(因为矩阵和向量都很大,我们添加分号来控制输出。(1) 方程组 的真解应为。为什么? 【A中的每一行的元素之和正好等于对应b的每一列,故z为其一解,又det不等于0,RA=RAb=n,故z为其解】试说明,可在Matlab中利用”运算或计算,然后用计算来求解。比较这两种计算方法的速度和精度。我们将使用Matlab命令tic和toc来测量每一个计算过程消耗的时间。只需要用下面的命令:tic,x=Ab;toctic,y=inv(A)*b; toc 哪一种方法更快? tic,x=Ab;更快!为了比较这两种方法的精度,可以测量求得的解x和y与真解z接近的程度。利用下面的命令:max(abs(x-z)max(abs(y-z)哪种方法的到的解更精确? max(abs(x-z)= 4.0168e-013 更精确! max(abs(y-z) = 6.1107e-013(2) 用n=500和n=1000替换(1)中的。 如(1)结果一样!3 令A=floor(10*rand(6)。根据构造,矩阵A将有整数元。将矩阵A的第六列更改,使得矩阵A为奇异的。令B=A,A(:,6)=-sum(B(1:5,:)(1) 设x=ones(6,1),并利用Matlab计算Ax。为什么我们知道A必为奇异的?【因化简列,列成比例】试说明。通过化为行最简形来判断A是奇异的。(2) 令B=x*1:6,乘积AB应为零矩阵。为什么?【因A的每一行的前五个元素之和等于第六个元素的相反数,且在A上的每一行的元素同乘以相同的数,则仍等于0】试说明。用Matlab的*运算计算AB进行验证。(3) 令C=floor(10*rand(6)和D=B+C,尽管,但乘积AC和AD是相等的。为什么?试说明。计算A*C和A*D,并验证它们确实相等。【此处B为令B=x*1:6;A为A(:,6)=-sum(B(1:5,:)】由于A*B=0;故AC=AD;A(B+C)=AB+AC;4 采用如下方式构造一个矩阵。令B=eye(10)-triu(ones(10),1), 参见最后附表二:为什么我们知道B必为非奇异的?【上三角矩阵的行列式的值等于对角线上的元素相乘】令C=inv(B)且x=C(:,10),现在用B(10,1)=-1/256将B进行微小改变。利用Matlab计算乘积Bx。由这个计算结果,你可以得出关于新矩阵B的什么结论?【化简此时B,得行最简式,RB=910,可以得出B的第10列(从19行)与x互为相反数,且都是2的指数幂数,且第十行为0,】 它是否为奇异的?【是】 试说明。用Matlab计算它的行最简形。5 生成一个矩阵A:A=floor(20*rand(6)并生成一个向量b:B=floor(20*rand(6,1)-10(1) 因为A是随机生成的,我们可以认为它是非奇异的。那么方程组应有唯一解。用运算“”求解。用Matlab计算A b的行最简形U。比较U的最后一列和解x,结果是什么?【相等】在精确算术运算时,它们应当是相等的。为什么?【行最简式中可写出对应元素的实际含义,对应处的未知元就等于最后的数】试说明。为比较他们两个,计算差U(:,7)-x或用format long考虑它们。(2) 现在改变A,试它成为奇异的。令 A(:,3)=A(:,1:2)*4 3【第一列乘以4加上第二列乘以3替换到第三列上】,利用Matlab计算rref(A b)。方程组有多少组解?【无解】试说明。【RARAB】(3) 令 y=floor(20*rand(6,1)-10 且 c=A*y,为什么我们知道方程组Ax=c必为 相容?的?【x此时必有一解y,故为相容的】试说明。计算A c的行最简形U。方程组有多少组解?【无穷多解】试说明。【RA=RA c6】(4) 由行最简形确定的自由变量应为。通过考察矩阵U对应的方程组,可以求得时所对应的解。将这个解作为列向量输入Matlab中。为检验,计算剩余向量。(5) 令。矩阵U应对应于的行最简形。用求自变量时齐次线性方程组的解(手工计算),并将你的结果输入为向量Z。用A*Z检验你的结论。(6) 令。向量v应为方程组的解。为什么?试说明。用Matlab计算剩余向量来验证v为方程组的解。在这个解中,自由变量的取值是什么? 【=3】 如何使用向量w和z来求所有可能的方程组的解?【v=w+n*z,其中n为任意实数】试说明。6 考虑下图: (1) 确定图的邻接矩阵A,将其输入Matlab;(2) 计算A2并确定长度为2的路的条数【72】,其起止点分别为:【A2+A中的数值之和,数字表示有几种路径,具体看程序】(3) 计算A4、A6、A8并回答(2)中各种情况长度为4、【368】6、【2362】8、【15800】的路的条数。试推测什么时候从顶点Vi到Vj没有长度为偶数 【即为0】 的路。 【i=1,j=6; i=2,j=5; i=3,j=6或8; i=4,j=7; i=5,j=8;i=6,j=1或3; i=7,j=4; i=8,j=3或6;】(4) 计算A3、A5、A7并回答(2)中各情况长度为3、【154】5、【922】7【6098】的路的条数。你由(3)得到的推测对长度为奇数的路是否成立?【不成立】,试说明【见程序】。推测根据i+j+k的奇偶性,是否存在长度为k的路。【若i+j+k为偶数,不存在;相反,则存在】 【路径见程序】(5) 如果我们在图中增加边V3,V6,V5,V8,新图的邻接矩阵B可首先令B=A,然后令B(3,6)=144, B(6,3)=1, B(5,8)=1, B(8,5)=1,对k=2,3,4,5计算Bk。(4)中的推测在新的图形中是否还是成立的?【不成立】见程序】 (6) 在图中增加V6,V8,并构造得到的图的邻接矩阵C,计算C的幂次,并验证你在(4)中的推测对这个新图是否仍然成立。【不成立】【见程序】7令A=magic(8),然后计算其行最简形。使得首1对应于前三个变量,且其余的五个变量均为自由的。(1)令c=1:8,通过计算矩阵A c的行最简形确定方程组Ax=c是否相容。方程组是相容的吗? 【不相容】 试说明。 【RA A=rand(4); B=rand(4); C=A*B; D=B*A; G=(A*B); H=(B*A); C-Dans = 2.2376e-001 4.7289e-001 1.3979e+000 1.3204e+000 -6.3633e-001 -3.0354e-001 2.2485e-002 -1.5056e-001 -1.7227e-001 -1.1938e-001 2.9484e-001 2.3624e-001 -8.7955e-001 -6.5016e-001 8.0370e-002 -2.1506e-001 C-Gans = 2.2376e-001 4.7289e-001 1.3979e+000 1.3204e+000 -6.3633e-001 -3.0354e-001 2.2485e-002 -1.5056e-001 -1.7227e-001 -1.1938e-001 2.9484e-001 2.3624e-001 -8.7955e-001 -6.5016e-001 8.0370
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