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对数概念,对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(Napier,1550年1617年)。他发明了供天文计算作参考的对数,并于1614年在爱丁堡出版了奇妙的对数定律说明书,公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始,微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。,预习提纲,1、为了研究什么问题而引入对数概念? 2、对数是如何定义的? 3、指数式和对数式如何相互转化? 4、对数有哪些性质? 5、 和 是什么含义?,折纸次数x 层数N,折纸次数和层数的关系:,情境导航,如果如果已经知道一共有64层,你能计算折了多少次吗?,这个问题可以转化为:已知 ,求x.,1 2 3 4 ,2 4 8 16 ,1、指数式: ab=N,a是_, b是_,N是_, 其中a,b,N什么范围?,2、a0=_, a1=_.,底数,指数,幂,1,a,1、在23 =8中,8=_,2=_,3=? 2、在52=25中,25=_,5=_,2=? 3、在ab=N中,N=_, a=_,b=?,任务一:回答下面问题,引入对数。,计算:(1)求N. 23 =N. (2)求a. a2=25 .(a0),23,52,ab,在ab=N中,b叫以a为底N的对数.,3叫以2为底8的对数,,2叫以3为底9的对数,,0叫以1/2为底1的对数,,-1叫以5为底1/5的对数,,b叫以a为底N的对数,记作b=logaN.,记作3=log28.,记作2=log39.,记作0=log1/21.,记作-1=log51/5.,任务二:理解对数的概念。,子任务1.对数是如何定义的?a,b,N的名称及范围如何?,定义:一般地,如果 的b次幂等于N, 就是 ,那么数 b叫做 a为底 N的对数,记作 ,a叫做对数的底数,N叫做真数。,子任务2、比较指数式、根式、对数式的关系,加深概念理解,此对应始终保持底数不变,转化的实质是b、N位置的变化.,ab=N,=a,logaN=b,底数,方根,底数,指数,根指数,对数,幂,被开方数,真数,乘方, 由a,b求N,开方, 由N,b求a,对数, 由a,N求b,对数概念 小试牛刀,(1)(2010年)若 ( ),则有( )。 A. B. C. D. (2)在对数式 中,实数 的取值范围是( )。 A. B. C. D. (3)当底数是81时,27的对数等于( )。 A. B. C. D.,折纸次数x 层数N,折纸次数和层数的关系:,问题解决,如果如果已经知道一共有64层,你能计算折了多少次吗?,这个问题可以转化为:已知 ,求x.,1 2 3 4 ,2 4 8 16 ,1常用对数:以10作底 记作,2自然对数:以 e作底 e为无理数, e = 2.71828 记作,子任务3:认识常用对数和自然对数,试试:分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义.,指数式与对数式的互化,把下列指数式改写成对数式,对数式改写成指数式,(2),(1),变式练习: 把下列指数式改写成对数式,对数式改写成指数式,求下列式子中 的值:,(2),(1),变式练习:求下列式子中 的值:,小练习:求下列对数值,第一组:,猜想loga1=0,探究活动 感悟数学,证明:,,即1的对数为0.,第二组:,猜想logaa=1,证明:,,即底数的对数为1.,第三组:,猜想,证明:,口答下列式子的值:,对数的基本性质,1.负数和零没有对数;,2.“1”的对数等于零,即loga1= 0,3.底数的对数等于“1”,即logaa=1,4.,对数恒等式:,对数性质的应用,(1)求x的值:,(2)化简求值:,本节内容回顾,引入 2x=64 ab=N,b=? b叫以a为底N的对数 23=8,32=9- b=logaN,对数,比较ab=N,a=,b=logaN lgN,lnN的意义 例1,例2感受二者互化 求对数值,发现性质并证明 对数性质的应用,例3,1.,2、对数的性质:,3、常用对数 和自然对数,课堂小结,4、体会“归纳猜想证明”的研究方法。,(1).负数和零没有对数;,(2).“1”的对数等于零,即loga1= 0,(3).底数的对数等于“1”,即logaa=1,(4)对数恒等式:,
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