0803010传染病模型一、问题重述：由于传染病的传播会随时间而演变，根据一般的传播机理建立几种传染病模型。数学符号说明：N: 总人数i(t)：已感染人数 (病人) s(t)：病人治愈后即移出感染系统：每个病人每天有效接触(足以使人致病 )人数 ：病人每天治愈的比例二、建立模型：1、简单模型：假设：每个病人每天有效接触人数(使人致病的人数) 为 。设时刻 t 的病人人数 是连续可微的，且每天每个病人有效接触的人数为常数 ，考察()it 时间 到 期间，病人人数的增加量，就有()()ititit再设 时，有病人 个，这样可得微分方程：0t0x0()dit求解可得： 。其中当 时， 。0()titeti这个结果表明，随着 t 的增加，病人人数 无限制地增长，显然不符合实际。()t之所以出现这样的结果，问题在于在病人有效接触病人的人群中，既有健康人也有病人，而只有健康人才可以被传染为病人。所以下面我们改进模型，区别这两种人。()()NititstNit2、SI 模型假设：（1）总人数 N 不变，病人和健康人的比例分别为 i(t)、s(t) 。（2）每个病人每天有效接触人数为 , 且使接触的健康人致病。()()Nititstitdst()1i0)()dit在上述方程组中设 。98.0)(,2.)0(,3.,1si图 1： SI 模型的 it 曲线图 2：SI 模型的 曲线idt由图 1 可知，一、当 时， 达到最大值 ，这个时刻为 。21idtimaxdti )1ln(01itm此时病人增加得最快，可以认为是医院门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。2、当 时， ，即所有人终将被传染，全变为病人，这不符合实际情况。原因在t1i于未考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，而病人就不会再变成健康者。基于以上分析，模型需要进一步被改进。下面我们讨论病人可以被治愈的情况。3、SIS 模型增加假设：病人每天治愈的比例为 。病人治愈后仍可被感染的健康者。()()()NititNstiit01()diit：一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。/(1)diit时，设 。98.0)(,2.)0(,3., si图 3：SIS 模型的 曲线（ ） 图 4： SIS 模型的 曲线（ ）idt1ti1时，12.0)(,7.,5.0 图 5： SIS 模型的 曲线（ ） 图 6： SIS 模型的 曲线（ ）idt1ti1不难看出，接触数 是一个阈值。当 时， 的增减性取决于 的大小（见图 4） ，1)(ti0i但其极限值随着 的增加而增加；当 时，病人比例 越来越小，最终趋于零，这1是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故。4.SIR 模型有些传染病在治愈后均有较强的免疫力，所以病愈的人既非健康者，也非病人，他们已经推出了传染系统，这种情况相对复杂。下面建立模型：增加假设：1 总人数 N 不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2 病人的日接触率 , 日治愈率 , 接触数： = / ()()1stirt建立 的两个方程,()()()NititNstiits00(),()diitsis在方程中，设 ，利用 MATLAB 软件编程：、98.0)(,2.)0(,3.,1si程序编写：function dy= wf(t,y) dy=zeros(2,1);lambda=1;miu=0.3;dy(1)=lambda*y(2)*y(1)-miu*y(1);dy(2)=-lambda*y(2)*y(1);在命令窗口输入： T,Y = ode45(wf,0 50,0.02 0.98); plot(T,Y(:,1) hold on plot(T,Y(:,2)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5000.10.20.30.40.50.60.70.80.91图 7： 图形 )(tsi、 图 8： is 的图形（相轨线）为了分析 的一般变化规律，需要进行相轨线分析。)(tsi、图 9：为 SIR 模型的相轨线001()isr通 常 很 小 ）消去 , 令dt/01si得到相轨线 。如图 9 所示，其中箭头方向表示了随着时间 t 的001()lnsisi增加， 的变化趋向。ti、001()lnsisiP1: 先升后降至 0 传染病蔓延10s)(tiP2: 单调降至 0 传染病不蔓延从而我们由模型得知：传染病不蔓延的条件为 。10s结果分析：因此我们规定一个阈值： 。要使得传染病不蔓延，就要提高阈值，即降低 。而1 ，降低 ，就意味着要降低 ，提高 。也就意味着提高卫生水平，提升医疗水平。对于 ，还可考虑降低 ，又 ，即要提高 ，也就是提高群体的免疫能力，10s0s01r0r这可以通过接种疫苗实现。通过上面的分析得知，我们的模型分析所得的结果与现实生活中的经验基本吻合，从而该模型具有一定的可靠性和预测性。