第九章 应力状态与强度理论91 引言92 二向应力状态分析解析法93 二向应力状态分析图解法94 三向应力状态简介95 广义虎克定律96 复杂应力状态的应变能密度98 莫尔强度理论97 四种常用的强度理论9 引 言一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁 PP 铸铁拉伸 P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP四、普遍状态下的应力表示 三、单元体： 单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、各侧面上，应力均布；b、平行面上，应力相等, 方向相反。二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。xyzs xsz s ytxyxyzs xsz s ytxy五、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。0 : = zM单元体平衡证明0d)dd(d)dd( = yxzxzy yxxy ttyxxy tt =tzx五、原始单元体（已知单元体）：例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PP AAsxsxMPxyzBCsxsx Btxz Ctxytyx六、主单元体、主面、主应力：主单元体(Principal body)：各侧面上切应力均为零的单元体。主平面(Principal Plane)：切应力为零的截面。主应力(Principal Stress ）：主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321 sss s 1s 2s 3s1s2s3xyzs xs zs yxyzsxsyz 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）：一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。Asxsxtzxsxsx Btxz92 二向应力状态分析解析法向应力状态分析 解析法等价sxtxysyxyz xysxtxysyO规定： sa 截面外法线同向为正；t a绕研究对象顺时针转为正；a逆时针为正。图1一、任意斜截面上的应力xysxtxysyOsytxysxsataaxyO tn图2已知： sx, y 拉正压负；t xy 绕研究对象顺时针转为正；a SScosaSsina设：斜截面面积为S，图1由分离体平衡得： = Fn 00cossinsinsincoscos22=+aatasaatassaSSSSSyxyxyxsytxysxsataaxyO tn图2a SScosaSsina考虑切应力互等和三角变换：aaaaaaatt2sincossin2;2 2cos1sin;2 2cos1cos;22=+= yxxyaa图1xysxtxysyOsytxysxsataaxyO tn图2atasssssa 2sin2cos22 xyyxyx +=atassta 2cos2sin2 xyyx +=得：同理, 由分离体平衡： = Ft 0 得：任意斜截面应力sa, ta可求, 随a而变.( ) 有最大最小值。时 aa satassas ,02cos22sin = xyyxdd二、极值应力yxxyssta=22tg0！极值正应力就是主应力取得极值时 = 0, aa ts） 2222 xyyxyxm inm ax tssssss +-+=（xysxtxysyOatasssssa 2sin2cos22 xyyxyx += sa 随a而变.主平面法线与X轴夹角:可求出相差90的两个0 ,定两个互相垂直平面,分别对应最大、最小主应力:xysxtxysyO主单元体s1(smax)在切应力相对的象限内，且偏向于sx 及sy大的一侧。xyyxtssa22tg 1=222 x yyxminmax tsstt +-=）（001 45 , 4 面成即极值剪应力面与主平paa =min2max1 ssss=2s 1s 极值切应力所在面(法线与X轴夹角):( ) 02sin22cos: = atassat a xyyxdd令atassta 2cos2sin2: xyyx +=由例2 分析受扭构件的破坏规律。解： 确定危险点并画其原始单元体求极值应力0= yx ssPnxy WM=tt22minmax22 xyyxyx tssssss += ）（tt = 2xytxyCtyxMCxyOtxytyx 破坏分析ttsstt =+= 22minmax2 xyyx ）（tssts = 321 ;0;o4522tg00 = asstayxxy0022tg 11 = at ssaxyyxMPa200;MPa240: = ss ts低碳钢MPa300198;MPa960640MPa28098:=bybLbtss灰口铸铁低碳钢铸铁93 二向应力状态分析图解法二向应力状态分析 图解法+=+=atasstatasssssaa2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222 xyyxyx tsstsssaa + =+ +对上述方程消去参数（2a），得：一、应力圆（ Stress Circle）xysxtxysyOsytxysxsataaxyO tn 此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆)222);0,2( xyyxyx tssss + ）（半径圆心 建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(s x，txy)和B(sy，tyx) AB与sa 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx ,txy)B(sy ,tyx)x2an D( sa , ta)222);0,2( xyyxyx tssss + ）（半径圆心sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx ,txy)B(sy ,tyx)x2an D( sa , ta)三、单元体与应力圆的对应关系a面上的应力(s a，t a)应力圆上一点(s a，t a)a面的法线 应力圆的半径两面夹角a 两半径夹角2a ；且转向一致。点面对应,转向相同,转角二倍223122 xyyxyxROCtssssss+=）（半径四、在应力圆上标出极值应力22minmaxminmax22xyyxRtsssstt+=）（半径O C sataA(sx ,txy)B(sy ,tyx)x2a1mintmaxt2a0s1s2s3222);0,2( xyyxyx tssss + ）（半径圆心s3例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150ABs 1s2解： 主应力坐标系如图AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆a0s1s2B AC2a0sata(MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点s3 s1s2B AC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图020120321=ssso300 =a4532532595150s 1a0s2ABatassta 2cos2sin2 xyyx +=4532532595150解法2解析法：分析建立坐标系如图xyyxytts=MPa325MPa45?=xs222122 xyyxyx tssssss += ）（60MPa325MPa956060=tsxyOzzxy IbQS =tzx IMy=s12345P1 P2 q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：223122 xyxx tssss += ）（五、梁的主应力及主应力迹线21s1s3s33s1s34s1s1s35a045a0stA1A2 D2D1C OsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0= 90sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2 D1CA1O拉力压力主应力迹线（Stress Trajectories)：实线表示拉主应力迹线；s1s3s 1s 3虚线表示压主应力迹线。主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。两组曲线正交.qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacds1s3s3s194 三向应力状态简介向应力状态简介s2s1xyzs31s2s3sasat1、空间应力状态2、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大切应力为：t max231maxsst =s2s1xyzs3 1s2s3sasat例4 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解： 由单元体图知：y z面为主面501=s建立应力坐标系如图，画应力圆和点s1,得:275058321=sss44max =t5040xyz3010(M Pa)sa（M Pa ）taABCABs1s2s3tmax76 平面应变分析面应变一、叠加法求应变分析公式剪应变： 直角的增大为正！xyOaXY 已知构件任一点处应变x、y、xy。正应变： 拉正压负。将坐标系转角，得到新的XOY坐标.求 X 坐标方向的线应变 ea 和 XOY 角的剪应变 ga .因为小变形、线弹性，可分别算出 ex , ey， gxy 单独存在时的线应变和剪应变，再用叠加原理求它们同时存在时的ea，ga .aea coscos11 xaADDD =aeaaeea 211 coscos/ cos xxaaOADD =aeaaeaaeg a2sinsin/coscos/sin1xxxbbaaOBBEOAADBOEAOD+=+=+=+=abc daAOBaDD1EE1a a axyOaXYaea sinsin22 ycADDD =aeaaeea 222 sinsin/ sin yyccOADD =aeaaeaaega2sincos/sinsin/cos2yyyccccOBBEOAADBOEAOD=xyOabc daAOB DD2EE2a aaga coscos33 xycADADL =aaga agea cossinsin/ cos3 xyxyccOAAD =( )aag aagaagga2233sincos/coscossin/sin=+=+=xyxyxyccccBOEAODDD3EE3axyg xygxyOabc daAOB