3.2.1 刚体定轴转动的转动定律,3.2 刚体定轴转动动力学,3.2.2 刚体定轴转动的动能定理,3.2.4 例题分析,3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律,3.2.1 刚体定轴转动的转动定律,1. 力矩,对于定点转动而言：,对于定轴转动而言：,注意:,(1)力矩是对点或对轴而言的;,(2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动时 ；使刚体顺时针绕定轴转动时 .,2. 刚体定轴转动的转动定律,对质元 ，由牛顿第二运动定律得,其中 是质元 绕轴作圆运动的加速度，写为分量式如下：,其中 和 是质元 绕轴作圆运动的法向加速度和切向加速度，所以,法向力的作用线过转轴,其力矩为零.,内力矩为零,外力矩为M,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量是刚体作转动时对惯性的量度描述.,3. 转动惯量,适用于离散分布刚体转动惯量的计算,适用于连续分布刚体转动惯量的计算,在国际单位制（SI）中，转动惯量的单位为千克二次方米，即 .,刚体转动惯量的大小与下列因素有关：,（1）形状大小分别相同的刚体质量大的转动惯量大；,（2）总质量相同的刚体，质量分布离轴越远转动惯量越大；,（3）对同一刚体而言，转轴不同，质量对轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同.,3.2.2 刚体定轴转动的动能定理,1. 刚体定轴转动的动能( 转动动能 ),对于第i 个质元,动能为,对于整个刚体,动能为,2. 刚体定轴转动时力矩所做的功及功率,3. 刚体定轴转动的动能定理,4.系统（刚体和质点）的功能原理,刚体,5. 机械能守恒定律,3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律,1. 角动量( 动量矩 ),对于定点转动而言：,在国际单位制（SI）中，角动量的单位为,对于绕固定轴oz 转动的整个刚体而言:,对于绕固定轴oz的转动的质元 而言:,角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可用代数量来描述.,2. 角动量定理（动量矩定理）,质点系：动量守恒； 质点和刚体组成的系统：角动量守恒；,质点角动量,当作用于转动物体的合外力矩 M = 0 时，得,3. 角动量守恒定律,即系统所受的合外力矩为零.,角动量守恒的条件,角动量守恒的内容,注意：在推导角动量守恒定律的过程中受到了刚体、定轴等条件的限制，但它的适用范围却远远超过了这些限制.,如: 滑冰运动员的表演.,3.2.4 例题分析P65,1.一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分别为m 和M 的物体，且 . 滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为 ，半径为R ，转轴垂直于盘面通过盘心，如图所示.由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到了摩擦阻力矩 的作用. 设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动.求物体的加速度及绳中的张力.,解 受力分析如图所示.对于上下作平动的两物体，可以视为质点，由牛顿第二运动定律得,若以顺时针方向转的力矩为正，逆时针转的方向为负，则由刚体定轴转动的转动定律得,据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的加速度相等，即,联立以上三个方程，得,注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩时，此时有 ，物理学中称这样的滑轮为“理想滑轮”，称这样的装置为阿特伍德机.,P67:2.求长为L ，质量为m 的均匀细棒AB 的转动惯量.,（2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴.,（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴；,解 （1）如图所示，以过A 端垂直于棒的 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在棒上取长度元 ，则由转动惯量的定义有:,（2）如图所示，以过中点垂直于棒的 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在棒上取长度元 ，则由转动惯量的定义有:,3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.,解 作示意图如右,由于质量连续分布，所以由转动惯量的定义得,4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.,解 如图所示, 由于质量连续分布，设圆盘的厚度为l，则圆盘的质量密度为,5. 如图所示，一质量为M 、半径为R 的匀质圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m 的物体，问物体由静止落下h 高度时,物体的速率为多少？,物体下降的加速度的大小就是转动时滑轮边缘上切向加速度，所以,解法一 用牛顿第二运动定律及转动定律求解.分析受力如图所示.,对物体m用牛顿第二运动定律得,对匀质圆盘形滑轮用转动定律有,物体m 落下h 高度时的速率为,圆盘的转动惯量为,联立以上五式，可得物体m 落下h 高度时的速率为,小于物体自由下落的速率,解法二 利用动能定理求解.,对于物体m 利用质点的动能定理有,其中 和 是物体的初速度和末速度.,对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有,其中 是在拉力矩TR 的作用下滑轮转过的角度， 和 是滑轮的初末角速度.,由于滑轮和绳子间无相对滑动，所以物体落下的距离应等于滑轮边缘上任意一点所经过的弧长，即 .,联立以上各式，可得物体 m 落下h 高度时的速率为,解法三 利用机械能守恒定律求解.,若把滑轮、物体和地球看成一个系统，则在物体落下、滑轮转动的过程中，绳子的拉力T 对物体做负功（ ），对滑轮做正功（ ）即内力做功的代数和为零，所以系统的机械能守恒.,若把系统开始运动而还没有运动时的状态作为初始状态，系统在物体落下高度h 时的状态作为末状态，则,解之可得物体 m 落下h 高度时的速率.,6. 哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是 , 速率 ；它离太阳最远时的速率 ，这时它离太阳的距离,解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒. 于是有,代入数据可, 得,7.如图所示，一个长为l 、质量为M 的匀质杆可绕支点o自由转动.一质量为m 、速率为v 的子弹以与水平方向成角 的方向射入杆内距支点为a 处，使杆的偏转角为 . 问子弹的初速率为多少？,解 把子弹和匀质杆作为一个系统, 分析可知在碰撞过程中角动量守恒.,设子弹射入杆后与杆一同前进的角速度为 ,则,子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中只有重力做功，所以由子弹、杆和地球组成的系统机械能守恒，因此有,联立上述这两个方程得子弹的初速率为,8. 如图所示，一根质量为M 、长为2l 的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平位置. 今有一质量为m 的小球，以速度 垂直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞. 试求碰撞后小球的回跳速度 及棒绕轴转动的角速度 .,解 分析可知,以棒和小球组成的系统的角动量守恒.,由于碰撞前棒处于静止状态，所以碰撞前系统的角动量就是小球的角动量 ;,由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角动量为,由角动量守恒定律得,由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞前后系统的动能守恒，即,联立以上两式，可得小球的速度为,棒的角速度为,要保证小球回跳 ，则必须保证 .,讨论:,