美式-亚式期权定价的偏最小二乘回归方法摘要：期权是国际金融市场创新实践的产物，期权定价问题更是当今金融学面临的重要研究课题之一。本文首先说明美式和亚式两种期权的定价方法，接着进入美式-亚式期权定价模型的推导。用偏最小二乘回归方法进行美式-亚式期权定价。关键词 美式-亚式期权 模特卡洛模拟 偏最小二乘一 美式和亚式期权定价理论美式期权是指能够在合约规定的到期日以前（包括到期日）任何一个工作日实施的期权。从数学上来说，美式期权的定价问题是一个自由边界问题，它需要求解这样一条交界线，金融上称它为最佳实施边界，它把区域0SK-S+，且D1=S0S；在终止持有区域，期权的价格等于实施的收益，即VS=K-S+，且D1=0SS0。在最佳实施边界上，期权价格曲线VS与表示实施收益的曲线V=K-S相切，相切点斜率为-1。从而，美式看跌期权的价格V是下面自由边界问题的解：Vt+122S22VS2+rSVS-rV=0 0tT,S0SmaxK-S,0 0tT,S0SVS,t=maxK-S,0 0tT,0S0limSVS,t=0 0tT以上方程可以用数值方法进行求解，如差分法，树图法。亚式期权是强路径有关期权，它在期权到期日的收益不仅依赖于当天原生资产的价格，而且依赖于在整个期权有效期内原生资产所经历的价格平均值。这里所谓的平均值J，可以是算数平均，也可以是几何平均。与欧式、美式期权一样，亚式期权也有离散情形和连续情形之分。此外，亚式期权的敲定价格还有固定与浮动之分，不同形式的敲定价格，对应的收益计算方法也是不一样的。综合而言，亚式期权的不同形式及其对应的到期日收益如下表（以看涨期权为例）：表一 亚式期权的形式及收益形式收益连续情形的J离散情形的J具有固定敲定价格的算术平均亚式期权JT-K+JT=1T0TSdJT=1ni=1nSti具有固定敲定价格的几何平均亚式期权JT-K+JT=e1T0TlnSdJT=e1nlnSti具有浮动敲定价格的算术平均亚式期权ST-JT+JT=1T0TSdJT=1ni=1nSti具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权ST-JT+JT=e1T0TlnSdJT=e1nlnSti根据亚式期权的不同形式，它的定价模型也有所不同。首先假设V为亚式期权的定价，构造一个在t,t+dt时段内无风险的投资组合=V-S，即有d=rV-Sdt。在Ito公式的推导下，并取=VS，最后得到下列方程：Vt+VJdJdt+122S22VS2+r-qSVS-rV=0从上述表一可以看出，算术平均和几何平均两种算法对应了两个不同的价格平均值Jt，当然也就对应了两个不同的dJtdt。将这两个不同的Jt以及dJtdt带入上述方程，便可分别得到算术平均亚式期权和几何平均亚式期权的定价模型。算术平均亚式期权的定价模型：在定解区域0S,0J,0tT上，求解定解问题：Vt+S-JtVJ+122S22VS2+r-qSVS-rV=0VS,J,T=J-K+ （具有固定敲定价格的看涨期权）K-J+ （具有固定敲定价格的看跌期权）S-J+ （具有浮动敲定价格的看涨期权）J-S+ （具有浮动敲定价格的看跌期权）几何平均亚式期权的定价模型：在定解区域0S,0J,0tT上，求解定解问题：Vt+JlnS-lnJtVJ+122S22VS2+r-qSVS-rV=0VS,J,T=J-K+ （具有固定敲定价格的看涨期权）K-J+ （具有固定敲定价格的看跌期权）S-J+ （具有浮动敲定价格的看涨期权）J-S+ （具有浮动敲定价格的看跌期权）在上述两种定价模型基础上，再考虑固定敲定价格和浮动敲定价格之分。以具有固定敲定价格的算术平均亚式期权为例，令=TK-tJS，V=SUT，将上述模型转化为：Ut+12222U2-r-q+1U-qU=0U|t=T=TSJ-K+=-+于是，求解具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的价格就转化为在区域R,0tT上求解一维抛物方程的Cauchy问题了。其他各种形式的亚式期权可照此法类推，求出相应的期权价格。二 美式-亚式期权定价理论美式-亚式期权是兼具美式、亚式期权特性的复杂期权，它是指在规定的某些特定交易日均可以敲定的价格执行的期权，但其收益不仅与交易日当天标的资产的价格有关，还与交易日之前一段时期内标的资产的平均价格有关。根据期权理论，假设当前时刻为0，此时标的资产的初始价格为S0到期日为T，期权在 T0( 0TO T)之后的某些特定交易日均可以之前的固定的敲定价K执行，期权最早的可执行时间为T1 ，共有n 次执行机会，可执行时间间隔为 。设交割日为S ，则AS表示标的资产在交割日S 之前的TO-S 时间段内的平均价格（为简便起见，本文考虑算术平均价格）。考虑将 0,T 时间区间等分为N 个长度相等的时间,t=ti+1-ti=TN，在任意时刻ti，标的资产的价格为Si。设T0=i0t，T1=i1t，可执行时间间隔T-T1n=i*t（i*N+）。资产价格演化遵循几何布朗运动，即第一步是在计算机上运用蒙特卡洛模拟方法随机抽样生成从发行日到到期日之间标的资产价格的样本路径S0,S1,SN。，根据伊藤引理, 然后将其离散化，可得：lnSi-lnSi-1=-22t+it用化简和迭代法就可以得到Si=S0e-22it+tk=1ik，i=1,2,N