线性代数与空间解析几何 B（教学大纲）Linear Algebra and Analytic Geometry B课程编码：09101180 学分：3.5 课程类别：专业基础必修课计划学时：56 其中讲课：54 实验或实践：0 上机：2适用专业：经济、国贸、市场营销等商学类各专业推荐教材：于朝霞 张苏梅 苗丽安主编. 线性代数与空间解析几何.高等教育出版社，北京，2009.参考书目：1、郑宝东主编. 线性代数与空间解析几何. 高等教育出版社，北京，2008.2、马柏林等主编. 线性代数与解析几何. 科学出版社，北京，2001.3、黄廷祝，成孝予主编. 线性代数与空间解析几何. 高等教育出版社，北京，2008.4、韩旭里主编. 线性代数与空间解析几何. 科学出版社，北京，2004.5、龚冬保等主编. 线性代数与空间解析几何要点与解题. 西安交通大学出版社，西安，2006 .6、黄廷祝，余时伟主编. 线性代数与空间解析几何学习指导教程. 高等教育出版社，北京，2005.课程的教学目的与任务线性代数与空间解析几何是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。通过本课程的教学，使得学生系统地掌握线性代数与解析几何的基本知识、基本理论与基本方法，在抽象思维、逻辑推理、有限维线性运算和矩阵运算方面的能力及空间想象能力有所提高，培养学生用线性分析的方法解决问题的能力。课程的基本要求通过本课程的教学，使得学生系统地掌握行列式、矩阵、向量理论、空间直线与平面、空间曲线与曲面、线性方程组、特征值与特征向量、二次型的基本知识、基本理论与基本方法，具有较熟练的运算能力，一定的逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力，特别是用代数理论去解决几何及经济方面的问题。学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，能运用所获取的知识去分析和解决问题，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）第一章： 行列式 建议学时：8教学目的与要求 1知道 n 阶行列式的定义。2了解行列式的性质，掌握行列式的计算。3. 了解克莱姆(Cramer)法则。教学重点与难点 行列式的性质， 行列式的计算。授 课 方 法 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。授 课 内 容1.1 二阶与三阶行列式1.1.1 二阶行列式1.1.2 三阶行列式 1.2 n 阶行列式的定义1.2.1 排列与逆序数1.2.2 n 阶行列式的定义1.3 行列式的性质与计算 1.3.1 行列式的性质（可只讲性质 1、3、6 的证明）1.3.2 行列式的计算（重点讲三角法和降价法）1.4 克拉默法则（此法则的证明过程可省略）习题课第二章：矩阵及其运算 建议学时：10教学目的与要求 1理解矩阵的概念，知道单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、行阶梯矩阵、行最简矩阵等矩阵的定义及性质。2熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置及相关运算性质。3理解伴随阵概念及性质，理解逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆充要条件，掌握判断矩阵是否可逆的方法，会利用逆阵解矩阵方程。4理解矩阵的初等变换，熟练地用初等行变换将矩阵化为其行阶梯矩阵与行最简矩阵。5理解矩阵秩的概念，知道满秩矩阵及其性质。熟练地用初等行变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程。6掌握分块矩阵的运算。教学重点与难点 重点：矩阵、逆矩阵、矩阵的秩及矩阵的初等变换的概念。矩阵的加法、乘法、数乘、转置及矩阵行列式的运算及运算性质。矩阵可逆的充要条件。初等矩阵与初等变换的关系性质，用初等变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程的方法。难点：矩阵秩的概念，有关矩阵秩的性质的应用问题。授 课 方 法 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。授 课 内 容2.1 矩阵及其运算2.1.1 矩阵的概念2.1.2 矩阵的运算2.2逆矩阵2.2.1 逆矩阵的定义2.2.2 方阵可逆的充要条件2.3 分块矩阵及其运算2.3.1 分块矩阵的概念2.3.2 分块矩阵的运算（重点讲授准对角矩阵的运算性质）2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩2.4.1 矩阵的初等变换2.4.2 矩阵秩的概念与求法（定理 2.3 及性质 2.7 只说明结论及应用，不进行证明）2.5 初等矩阵2.5.1 初等矩阵及其性质2.5.2 用初等变换求逆矩阵2.6 矩阵应用实例（只讲例 2.19）习题课第三章：向量与向量空间 建议学时：8教学目的与要求 1. 理解 n 维向量的概念、理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念。掌握有关向量组相关性的性质定理及判定定理，会判别向量组的线性相关性。2. 理解向量组的秩、向量组的最大无关组等概念，理解向量组的秩与矩阵秩的关系。掌握用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组及秩的方法。3. 理解 n 维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，会求向量空间的基、维数的方法。了解基变换公式及坐标变换公式。教学重点与难点 重点：向量组的线性相关与线性无关的概念及性质，向量组的线性相关性的矩阵判别法及其推论以及上述结论的应用；向量组的最大无关组与秩的概念与求法；三秩相等定理及应用；向量空间及基底的概念。难点：向量组的线性相关与线性无关，向量组的最大无关组与秩。授 课 方 法 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。授 课 内 容3.1 几何向量及其线性运算 (简单复习)3.1.1 几何向量的基本概念3.1.2 几何向量的线性运算3.2 空间直角坐标系3.2.1 空间直角坐标系3.2.2 几何向量的坐标表示（简单介绍）3.2.3 用坐标进行向量运算3.3 n 维向量及其线性运算3.3.1 n 维向量的概念3.3.2 n 维向量的线性运算3.4 向量组的线性相关性3.4.1 向量组及其线性组合3.4.2 线性相关与线性无关的概念3.4.3 线性相关性的性质3.4.4 线性相关性的判定（定理 3.1 的证明不讲）3.5 向量组的秩3.5.1 最大线性无关组3.5.2 向量组的秩（定理 3.2 的证明可不讲）3.5.3 矩阵的秩与向量组的秩的关系3.6 向量空间3.6.1 向量空间的概念3.6.2 坐标变换（简单介绍）习题课第四章：欧氏空间 建议学时：8教学目的与要求 1. 了解向量的内积、长度、夹角等概念及性质；理解标准正交基、正交矩阵概念；会求几何向量的内积和外积。2. 知道空间直线与平面方程。3. 理解空间曲面、空间曲线的概念，知道二次曲面方程及其所表示图形的形状，会求两曲面交线在坐标面上的投影。教学重点与难点 重点：标准正交基；直线与平面方程、曲面方程。授 课 方 法 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。授 课 内 容4.1 向量的内积 欧氏空间4.1.1 R3 中向量的内积（可不讲）4.1.2 n 维向量的内积 欧氏空间4.2 标准正交基4.3 R3 中向量的外积和混合积4.3.1 向量的外积（简单介绍）4.4 R3 中的直线与平面 （简单介绍）4.4.1 平面及其方程4.4.2 空间直线及其方程4.4.3 位置关系4.5 空间曲面及其方程（简单介绍）4.5.1 球面4.5.2 旋转曲面4.5.3 柱面4.6 空间曲线及其方程4.6.1 空间曲线的一般方程4.6.2 空间曲线的参数方程（简单介绍）4.6.3 空间曲线在坐标面上的投影4.7 二次曲面4.7.1 椭球面4.7.2 抛物面4.7.3 双曲面4.7.4 二次锥面习题课第五章：线性方程组 建议学时：6教学目的与要求 1理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。2理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解的概念及解的结构。3熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。4. 掌握齐次线性方程组 Ax=0 有非零解与矩阵 A 的列向量组线性相关性的关系；非齐次线性方程组 Ax=b 有解与向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示的关系。5.掌握线性方程组解的理论在几何上的应用。教学重点与难点 齐次线性方程组有非零解的判断及基础解系的概念；非齐次线性方程组有解的判断及通解结构；用矩阵的初等行变换求解线性方程组；线性方程组解的理论在几何上的应用。授 课 方 法 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。授 课 内 容5.1 线性方程组有解的充要条件5.2 线性方程组解的结构5.2.1 齐次线性方程组解的结构5.2.2 非齐次线性方程组解的结构5.3 用初等变换解线性方程组及线性方程组的应用5.3.1 用矩阵的初等行变换求解线性方程组5.3.2 线性方程组应用举例（掌握在几何中的应用，了解在经济上的应用）习题课第六章：特征值、特征向量及相似矩阵 建议学时：8教学目的与要求 1理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其求法。2理解相似矩阵的概念与性质，理解矩阵可相似对角化的充要条件。3.理解实对称矩阵的特征值、特征向量的性质以及实对称矩阵一定可以相似对角化。 掌握求正交阵化实对称阵为对角阵的方法。教学重点与难点 重点：矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法；实对称矩阵的相似对角化。难点：矩阵可相似对角化的条件及相关问题。授 课 方 法 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。授 课 内 容6.1 特征值与特征向量6.1.1 特征值与特征向量的概念6.1.2 特征值与特征向量的性质6.2 相似矩阵6.2.1 相似矩阵的概念及性质6.2.2 方阵的相似对角化问题6.3实对称矩阵及其对角化6.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量6.3.2 实对称矩阵的正交相似对角化习题课第七章：二次型 建议学时：6教学目的与要求 1 了解二次型及其矩阵表示、二次型的秩及二次型的标准形等概念。2. 掌握用正交变换将二次型化为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形。3. 知道惯性定理，理解正定二次型、正定矩阵的概念。掌握判别二次型为正定二次型的两个充要条件.4. 会用二次型理论讨论讨论一般二次曲面的形状。教学重点与难点 重点：用正交变换化二次型为标准型。难点：判别二次型为正定二次型。授 课 方 法 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。授 课 内 容7.1 二次型7.1.1 二次型的定义及其矩阵7.1.2 矩阵的合同7.2 化二次型为标准形 2347.2.1 用正交变换化二次型为标准形7.2.2 用配方法化二次型为标准形（可不讲）7.3 正定二次型7.3.1 二次型的惯