Born to win2016 考研数学考前必背：常考公式集锦（线性代数篇）离考试还有最后几天，跨考教育数学教研室牛老师为考生整理了 2016 年数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生最后冲刺复习有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 12. 1,2.iiinaAaAinjjjj推论：行列式的一行（或列）所有元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即 121 .0, ()nijkikikinkaAaAik121 . ()njikikikniki2、设 ()ijmna， ()ijnkbB（注意 的列数和 B的行数相等） ，定义矩阵 ()ijmkcC，其中121.nijijijijikjcbab，称为矩阵 A与矩阵 的的乘积，记作C=A.如果矩阵 为方阵，则定义.nA个为矩阵 的 n次幂.不成立的运算法则 BOB或3、设 A为 n阶方阵， *为它的伴随矩阵则有*AE.设 为 阶方阵，那么当 =E或 A时，有 1B=4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：交换单位矩阵的第 i行和第 j行得到的初等矩阵记作 ijE，该矩阵也可以看做交换单位矩阵 Born to win的第 i列和第 j列得到的.如1,30E.将一个非零数 k乘到单位矩阵的第 i行得到的初等矩阵记作 ()ikE；该矩阵也可以看做将单位矩阵第 i列乘以非零数 k得到的.如210(5)E.将单位矩阵的第 行的 倍加到第 j行上得到的初等矩阵记作 ()ijkE；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第 j列的 k倍加到第 i列上得到的.如3,210()2.注：1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的.2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵 ()ijkE看做列变换是将单位矩阵第 j列的 k倍加到第 i列，这一点考生比较容易犯错.5、矩阵 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵 的秩，记为 .AA()r1） ；,0rrkT2） ； 1O3） 且 各行元素成比例；r4）设 为 阶矩阵，则 .An0rnA6、线性表出设 12,.m是 个 维向量， 12,.mk是 个常数，则称 12.mkk为向量组 ,的一个线性组合.设 12,.m是 个 n维向量， 是一个 n维向量，如果 为向量组 12,.m的一个线性组合，则称向量 可以由向量组 12,.m线性表出.线性相关 Born to win设 12,.m是 个 n维向量，如果存在不全为零的实数 12,.mk，使得0kk，则称向量组 12,.m线性相关.如果向量组 12,.m不是线性相关的，则称该向量组线性无关.与线性表出与线性相关性有关的基本定理定理 1：向量组 12,.线性相关当且仅当 12,.m中至少有一个是其余 1m个向量的线性组合.定理 2：若向量组 12,.m线性相关，则向量组 121,.,也线性相关.注：本定理也可以概括为“部分相关 整体相关”或等价地“整体无关 部分无关”.定理 3：若向量组 12,.线性无关，则向量组 12,.m的延伸组12,.,m也线性无关.定理 4：已知向量组 12,.m线性无关，则向量组 12,.,m线性相关当且仅当可以由向量组 线性表出.定理 5：阶梯型向量组线性无关.定理 6：若向量组 12,.s可以由向量组 12,.t线性表出，且 12,.s线性无关，则有 st.注：本定理在理论上有很重要的意义，是讨论秩和极大线性无关组的基础.定理内容也可以等价的描述为：若向量组 12,.s可以由向量组 12,.t线性表出，且 st，则12,.s线性相关.对于这种描述方式，我们可以把定理内容简单地记为：“多数被少数线性表出，则必相关.”定理 7： n个 维向量必然线性相关.7、线性方程组解的存在性设 12,.nA，其中 12,.n为 A的列向量，则线性方程组 Axb有解向量 b能由向量组 线性表出；1212,.,.,nnrrb；,A Born to win线性方程组解的唯一性当线性方程组 Axb有解时， xb的解不唯一（有无穷多解）线性方程组的导出组 0有非零解；向量组 12,.n线性相关；r；A.注：1）注意该定理成立的前提条件是线性方程组有解；也就是说，仅告知 rAn是不能得到 xb有无穷多解的，也有可能无解.2）定理 2 是按照 Axb有无穷多解的等价条件来总结的，请考生据此自行写出 xb有唯一解的条件.8、特征值和特征向量：设 为 n阶矩阵， 是一个数，若存在一个 n维的非零列向量使得关系式 成立.则称 是矩阵 A的特征值， 是属于特征值 的特征向量.设 E为 n阶单位矩阵，则行列式 E称为矩阵 的特征多项式.注：1）要注意：特征向量必须是非零向量；2）等式 A也可以写成 0A，因此 是齐次线性方程组0Ex的解，由于 ，可知 Ex是有非零解的，故 0AE；反之，若 ，那么齐次线性方程组 0有非零解，可知存在使得 A，也即 A.由上述讨论过程可知： 是矩阵 的特征值的充要条件是 AE（或 0A） ，而特征值 的特征向量都是齐次线性方程组 0x的非零解.3）由于 EA是 n次多项式，可知 AE有 n个根（包括虚根） ，也即 n阶矩阵有 n个特征值；任一特征值都有无穷多特征向量9、矩阵的相似对角化定理 1： 阶矩阵 可相似对角化的充要条件是矩阵 存在 个线性无关的特征向量.同时，在等式 1AP中，对角矩阵 的元素为 A的 n个特征值，可逆矩阵 P的列向量为矩阵 的 n个线性无关的特征向量，并且 P中特征向量的排列顺序与 中特征值的排列顺序一致.推论：设矩阵 有 个互不相同的特征值，则矩阵 可相似对角化. Born to win定理 2： n阶矩阵 A可相似对角化的充要条件是对任意特征值 ， 线性无关的特征向量个数都等于 的重数.推论： 阶矩阵 可相似对角化的充要条件是对任意特征值 ， nrEA的重数.10、设 A为实对称矩阵（ TA） ，则关于 A的特征值与特征向量，我们有如下的结论：定理 1： 的所有特征值均为实数，且 的的所有特征向量均为实数.定理 2： 属于不同特征值的特征向量必正交.定理 3： 一定有 n个线性无关的特征向量，即 可以对角化.且存在正交矩阵 Q，使得112(,.)TnQAdiag，其中 12,n为矩阵 A的特征值.我们称实对称矩阵可以正交相似于对角矩阵.11、如果二次型 1nijix中，只含有平方项，所有混合项 ()ijx的系数全为零，也即形如 22.ndxd，则称该二次型为标准形。如果二次型 TfA合同于标准形 221.nxdx，则称221.nxx为二次型 TfA的合同标准形。利用正交变换法求二次型的合同标准形由于实对称矩阵是可以正交相似对角化的，也即存在正交矩阵 Q及对角矩阵 ，使得1TQA。而求二次型的合同标准形就是求可逆矩阵 C以及对角矩阵 1，使得 1C，对比可知，我们可以将可逆矩阵 取成 ，此时 1就等于 。正交矩阵 及对角矩阵 的求法我们在上一章有详细的介绍，这里不再赘述。正交变换法是求二次型合同标准形的主要方法，考生要熟练掌握。需要注意的是，二次型的合同标准形是不唯一的，但通过正交变换法求得的标准形是唯一的（不考虑排列次序的话） ，标准形中平方项的系数均为矩阵 A的特征值，同时正交矩阵Q的列向量都是矩阵 A对应的特征向量。可见，正交变换法是联系二次型与上一章内容的纽带，结合特征值特征向量的考题是本章的重要考点。12、设 为实对称矩阵， n元实二次型 12(,.)Tnfxx正定对任意非零的 维列向量 x， 0TA；A的正惯性指数为 ；的特征值全大于零； Born to winA的合同规范形为 E；存在可逆矩阵 P使得 TA的所有顺序主子式全大于零；