3.2.2平面的法向量与 平面的向量表示,高中数学选修21,提问：A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M 共面的充要条件是：,图示：,平面的向量方程,1.直线与平面垂直的定义,2. 平面的法向量：,如果向量 的基线与平面 垂直，则向量 叫平面 的法向量。,几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 与平面平行或在平面内，则有,A,给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.,3. 平面的向量表示：,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，上节我们用直线的方向向量表示了空间直线、平面间的平行,如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系呢？,4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件,l1,教材未提,l,教材未提,待定系数法,简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以 为正交基底，建立如图所示空间坐标系， 设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，,则可得各点坐标，从而有,又平面CDE的一个法向量是,因为MN不在平面CDE内 所以MN/平面CDE,分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.,例:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .,m,n,取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?,例:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: .,6.有关平面的斜线概念， 三垂线定理及其逆定理 P104,什么叫平面的斜线、垂线、射影？,PO是平面的斜线, O为斜足;,PA是平面 的垂线, A为垂足;,AO 是PO在平面内的射 影.,例题分析：,1、判定下列命题是否正确,(1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面 内的射影，则ab。 ( ),(2)若a是平面的斜线，b是平面内的直线， 且b垂直于a在内的射影，则ab。 ( ),三垂线定理,答：aPO,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,为什么呢？,三垂线定理,数式板书,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。,对三垂线定理的说明：,三垂线定理,4、三垂线定理的图形是由“四线一面”五个部件组成垂线、斜线、射影、面内一线、平面,三垂线定理,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理的逆定理：,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,数式,另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, 证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量 的数量积为零.,证明：,如图,已知:,求证：,在直线l上取向量 ,只要证,为,分析:逆定理 同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.,法二：三垂线定理法板书,关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)及垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。,第一、定平面(基准面) 第二、找平面垂线（电线杆）,第三、看斜线，射影可见,三垂线定理,第四、证明直线a垂直于射影线，从而得出a与b垂直。,强调：1四线是相对同一个平面而言。,2定理的关键是找“基准面”和“电线杆”。,证明:,设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,小结,1.直线与平面垂直的定义,2. 平面的法向量：,3. 平面的向量表示：,4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件,6.有关平面的斜线概念， 三垂线定理及其逆定理 P104,巩固性训练1,1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系.,平行,垂直,平行,巩固性训练2,1.设 分别是平面,的法向量,根据 下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若 ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 ，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且 ，则m= .,巩固性训练3,1如图，正方体 中， E为 的中点， 证明： /平面AEC,练习:用空间向量来解决下列题目,2、在正方体AC 中，E、F、G、P、 Q、R分别是所在棱AB、BC、BB AD 、D C 、DD的中点， 求证：平面PQR平面EFG。 BD平面EFG,例. 在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 ，平面 的法向量为 ， 为平面 内任意一点，求 满足的关系式。,解：由题意可得,