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多所高校近世代数题库一、 (2011 年近世代数)判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“” ,错的打“” ;每小题 1 分,共 10 分)1、设 与 都是非空集合,那么 。 ( )ABBAxB且2、设 、 、 都是非空集合,则 到 的每个映射都叫作二元运DBAD算。 ( ) 3、只要 是 到 的一一映射,那么必有唯一的逆映射 。 ( )f 1f4、如果循环群 中生成元 的阶是无限的,则 与整数加群同构。 ( )aGG5、如果群 的子群 是循环群,那么 也是循环群。 ( )H6、近世代数中,群 的子群 是不变子群的充要条件为 。 ( )Hghg1;,7、如果环 的阶 ,那么 的单位元 。 ( )R2018、若环 满足左消去律,那么 必定没有右零因子。 ( )9、 中满足条件 的多项式叫做元 在域 上的极小多项式。 ( ))(xF)(pF10、若域 的特征是无限大,那么 含有一个与 同构的子域,这里 是整数环, 是由素数 生成的主理想。 EpZZp( )二、 (2011 年近世代数)单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题 1 分,共 10 分)1、设 和 都是非空集合,而 是 到 的一个映射,那么( )nA,2 DfnA21D集合 中两两都不相同; 的次序不能调换; A, 中不同的元对应的象必不相同;n21一个元 的象可以不唯一。a,2、指出下列那些运算是二元运算( )在整数集 上, ; 在有理数集 上, ;ZbQab在正实数集 上, ;在集合 上, 。Raln0nZ3、设 是整数集 上的二元运算,其中 (即取 与 中的最大者) ,那么 在 中( ) a,mx Z不适合交换律;不适合结合律;存在单位元;每个元都有逆元。4、设 为群,其中 是实数集,而乘法 ,这里 为 中固定的常数。那么群 中的单位元,Gkb: G,和元 的逆元分别是( )ex0 和 ; 1 和 0; 和 ; 和 。kx2)2(x5、设 和 都是群 中的元素且 ,那么 ( )cba,xGxacbcax,12 ; ; ; 。11 16、设 是群 的子群,且 有左陪集分类 。如果 6,那么 的阶 ( )HcH, G6; 24; 10; 12。7、设 是一个群同态映射,那么下列错误的命题是( )21:Gf 的同态核是 的不变子群; 的不变子群的逆象是 的不变子群; 的子群的象是 的子群; 的不变21121G子群的象是 的不变子群。28、设 是环同态满射, ,那么下列错误的结论为( )1:Rf baf)(若 是零元,则 是零元; 若 是单位元,则 是单位元;ab若 不是零因子,则 不是零因子;若 是不交换的,则 不交换。21R9、下列正确的命题是( )欧氏环一定是唯一分解环; 主理想环必是欧氏环;唯一分解环必是主理想环; 唯一分解环必是欧氏环。10、若 是域 的有限扩域, 是 的有限扩域,那么( )IFEI ; ;IE:IEFI: ; 。I三、 (2011 年近世代数)填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。每空 1 分,共 10 分)1、设集合 ; ,则有 。1,0A2,BA2、如果 是 与 间的一一映射, 是 的一个元,则 。faaf13、设集合 有一个分类,其中 与 是 的两个类,如果 ,那么 。ij jijiA4、设群 中元素 的阶为 ,如果 ,那么 与 存在整除关系为 。Gmenn5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。6、给出一个 5-循环置换 ,那么 。)31425(17、若 是有单位元的环 的由 生成的主理想,那么 中的元素可以表达为 。IRaI8、若 是一个有单位元的交换环, 是 的一个理想,那么 是一个域当且仅当 是 。IRI9、整环 的一个元 叫做一个素元,如果 。Ip10、若域 的一个扩域 叫做 的一个代数扩域,如果 。FE四、 (2011 年近世代数)改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误 1 分,更正错误 2 分。每小题 3 分,共 15 分)1、如果一个集合 的代数运算 同时适合消去律和分配律,那么在 里,元的次序可以掉换。A na212、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合 作成一个群,如果满足 对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。G3、设 和 是环 的理想且 ,如果 是 的最大理想,那么 。ISRRSII0S4、唯一分解环 的两个元 和 不一定会有最大公因子,若 和 都是 和 的最大公因子,那么必有 。abdabd5、 叫做域 的一个代数元,如果存在 的都不等于零的元 使得 。FFn,10 010na五、 (2011 年近世代数)计算题(共 15 分,每小题分标在小题后)1、给出下列四个四元置换 3412,4312,3421,4322 组成的群 ,试写出 的乘法表,并且求出 的单位元及 和 的所有子群。GG1,G2、设 是模 6 的剩余类环,且 。如果5,06Z xZgxf6)(、 ,计算 、 和23)(xxf 354)(2g)(f )(xgf以及它们的次数。g3、群 G=(a),|a|=7,求出群 G 的所有子群。六、 (2011 年近世代数)证明题(每小题 10 分,共 40 分)1、设 和 是一个群 的两个元且 ,又设 的阶 , 的阶 ,并且 ,证明: 的abbambn1),(mab阶 。mn2、设 为实数集, ,令 ,将 的所有这样的变换构成一R0,RRxaxRfba ,:),(个集合 ,试证明:对于变换普通的乘法, 作成一个群。),(bafGG3、设 和 为环 的两个理想,试证 和 都是 的理想。1I221I2121,Ib4、设 是有限可交换的环且含有单位元 1,证明: 中的非零元不是可逆元就是零因子。RR5、整数环 Z 中,证明(3,7)=(1)6、证明:域是欧式环。7、证明群同态定理第一条。8、Rx条件下,做映射:f:g(x)=g(0),求证:在 f 映射下 Rx与 R 同构,并求其核。多所高校近世代数题库答案一、 (近世代数)判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、 (近世代数)单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、 (近世代数)填空题1、 。 2、 。 3、 。 4、 。 1,0,21,0,anm5、变换群。 6、 。 7、 。 8、一个最大理想 。354Ryxii9、p 既不是零元,也不是单位,且 q 只有平凡因子。10、E 的每一个元都是 F 上的一个代数元。四、 (近世代数)改错题1、如果一个集合 的代数运算 同时适合消去律和分配律,那么在 里,元的次序可以掉换。A na21结合律与交换律 2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合 作成一个群,如果满足 对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。G消去律成立 3、设 和 是环 的理想且 ,如果 是 的最大理想,那么 。ISRRSII0SS=I 或 S=R4、唯一分解环 的两个元 和 不一定会有最大公因子 ,若 和 都是 和 的最大公因子,那么必有 d=d。abdab一定有最大公因子;d 和 d只能差一个单位因子5、 叫做域 的一个代数元,如果存在 的都不等于零的元 使得 。FFn,10 010na不都等于零的元
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