第八节,Laplace定理 行列式乘法法则,一 k 级子式与余子式、代数余子式,定义,在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列,按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列,( )，位于这些行和列的交叉点上的 个元素,式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后,式 ，称为 k 级子式 M 的余子式；,余下的元素按照原来的次序组成的 级 行列,若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是,，则在 M 的余子式 前,余子式，记为 .,注：, k 级子式不是唯一的.,（任一 n 级行列式有 个 k 级子式）,时，D本身为一个n级子式,二 拉普拉斯(Laplace)定理,引理,行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式,A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中,的一项，而且符号也一致,Laplace 定理,由这 k 行元素所组成的一切k级子式与它们的,设在行列式 D 中任意取 k ( )行，,代数余子式的乘积和等于 D即,若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式,则 ., 时，,即为行列式 D 按某行展开；,注：,为行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理结果,例如：计算行列式,解：,它们的代数余子式为,三 行列式乘法法则,设有两个n 级行列式,其中,则,证：,作一个2n级的行列式,由拉普拉斯定理,又对D作初等行变换：,可得,这里,从而,例如：证明齐次性方程组,只有零解其中 不全为0,证：,系数行列式,由 不全为0，有,即 ，故方程组只有零解,