五 机械振动和机械波51 简谐振动511、简谐振动的动力学特点如果一个物体受到的回复力 与它偏离平衡位置的位移 大小成正比，回Fx方向相反。即满足： 的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动xK回根据牛顿第二是律，物体的加速度 ，因此作简谐振动的物体，其mKa回加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。现有一劲度系数为 k 的轻质弹簧，上端固定在 P 点，下端固定一个质量为m 的物体，物体平衡时的位置记作 O 点。现把物体拉离 O 点后松手，使其上下振动，如图 5-1-1 所示。当物体运动到离 O 点距离为 x 处时，有mgkgF)(0回式中 为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有0x，因此mgk0kxF回说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移 x 成正比。因回复力指向平衡位置 O，而位移 x 总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。512、简谐振动的方程由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，xP图 5-1-1 xAO0图 5-1-2为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置 O 为圆心，以振幅 A 为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度 作匀速圆周运动，它在开始时与 O 的连线跟 轴夹角为 ,那么在时刻 t，参考圆上的质点与 O 的连线跟 的夹角就x0 x成为 ，它在 轴上的投影点的坐标tx（2）)cos(0tA这就是简谐振动方程，式中 是 t=0 时的相位，称为初相： 是 t 时刻的0t相位。参考圆上的质点的线速度为 ，其方向与参考圆相切，这个线速度在A轴上的投影是x） （3）0cos(tv这也就是简谐振动的速度参考圆上的质点的加速度为 ，其方向指向圆心，它在 轴上的投影是2Ax） （4）02cos(ta这也就是简谐振动的加速度由公式（2） 、 （4）可得 xa2由牛顿第二定律简谐振动的加速度为 xmkF因此有（5）k2简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期，所以kmwT2513、简谐振动的判据物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动：物体运动中所受回复力应满足 ；kxF物体的运动加速度满足 ；a2物体的运动方程可以表示为 。)cos(0tAx事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件是基本的，由它可以导出另外两个条件和。5.2 弹簧振子和单摆简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。521、弹簧振子弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期 。kmT2（1）恒力对弹簧振子的作用比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果 m 和 k 都相同（如图 5-2-1） ，则它们的振动周期 T 是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长 ，振子的质量为0lm=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长 =0.10m，从 t=0 时，开始电梯以 g/2 的加速度l加速下降 ,然后又以 g/2 加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长 随时st lkm图 5-2-1间 t 变化的图线。由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力 f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，振动周期 mkT/2/因为 ，所以lmgk/ )(.0sgl因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为 )(52.0/次Ttn当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力 mg/2，在此力和重力 mg的共同作用下，振子的平衡位置在2/21lkmgl的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在/3/2lkl的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成 5 次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是 。弹簧的伸长随时间变化的规律如图 5-2-2 所示，读者/l可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从 5T 时刻而是从 4.5T 时刻开始的，那么 图线将是怎样的？tl（2）弹簧的组合 设有几个劲度系数分别为 、 的轻弹簧串联起1k2nk来，组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在 F 力作用下伸长时，各弹簧的伸长为 ，那么总伸长1xOTll22t图 5-2-2 nix1各弹簧受的拉力也是 F，所以有iikx/故 ni1根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数xFk/即得 ni1/如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长 ，需要的外力xninikF11根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数 nikxk1导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用，如图 5-2-3 所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图 5-2-3 中两根弹簧是串联。当 m 向下偏离平衡位置 时，弹簧组伸长了 2 ，增加的弹力为xx212kkFm 受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略）m图 5-2-3 xkkxF21214所以 m 的振动周期 214)(kT= 21)(再看如图 5-2-4 所示的装置，当弹簧 1 由平衡状态伸长 时，弹簧 2 由平衡1l位置伸长了 ，那么，由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）2lblkal212ll由于弹簧 2 的伸长，使弹簧 1 悬点下降122lbaklx因此物体 m 总的由平衡位置下降了 2211lbakxl此时 m 所受的合外力 121xbkalkF所以系统的振动周期21)(2bkmT（3）没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为 和 的两木块 A 和 B，AmB用一根劲度系数为 k 的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上（图 5-2-5） 。m1k2ba图 5-2-4现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。想象两端各用一个大小为 F、方向相反的力将弹簧压缩，假设某时刻 A、B各偏离了原来的平衡位置 和 ，因为系统受的合力始终是零，所以应该有AxBmA、B 两物体受的力的大小kxFBABA)(由、两式可解得ABAxmkBF由此可见 A、B 两物体都做简谐运动，周期都是 )(2BAmkT此问题也可用另一种观点来解释：因为两物体质心处的弹簧是不动的，所以可以将弹簧看成两段。如果弹簧总长为 ，左边0l一段原长为 ，劲度系数为 ；右边一段原长为0lmBAkmBA，劲度系数为 ，这样处理所得结果与上述结0lBA kBA果是相同的，有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后，不是同时释放两个物体，而是先释放一个，再释放另一个，这样两个物体将做什么运动？系统的质心做什么运动？522、单摆一个质量为 m 的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的 O 点，小球摆动至与AB图 5-2-5 ABFOxmg图 5-2-6竖直方向夹 角，其受力情况如图 5-2-6 所示。其中回复力，即合力的切向分力为sinmgF回当 5 时，OAB 可视为直角三角形，切向分力指向平衡位置 A，且，所以lxsinxlgF回（式中 ）k回 lmg说明单摆在摆角小于 5 时可近似地看作是一个简谐振动，振动的周期为glkT2在一些异型单摆中， 和 g 的含意以及值会发生变化。l（1）等效重力加速度 单摆的等效重力加速度 等于摆球相对静止在平衡位置时，指向圆心的弹力与摆球质量的比值。如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳子中张力为 ，因此该单摆)(agm的等效重力加速度为 = 。周期为aglT2再如图 5-2-7 所示，在倾角为 的光滑斜面上有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳中张力为 ，因此单摆的等效重sinmg力加速度为 = ，周期为O图 5-2-7OAmafga图 5-2-8sin2glT又如一节车厢中悬挂一个摆长为 的单摆，车厢以加速度 在水平地面上运l a动（如图 5-2-8） 。由于小球 m 相对车厢受到一个惯性力 ，所以它可以mf“平衡”在 OA 位置， ，此单摆可以在车厢中以 OA 为中心做简谐振动。gat当小球相对静止在平衡位置 A 处时，绳中张力为 ，等效重力加速度2ga，单摆的周期2ga2galT（2）等效摆长 l单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离，而是指摆球的圆弧轨迹的半径。如图 5-2-9 中的双线摆，其等效摆长不是 ，而是 ，周期lsinlgT2再如图 5-2-10 所示，摆球 m 固定在边长为L、质量可忽略的等边三角形支架 ABC 的顶角 C上，三角支架可围绕固定的 AB 边自由转动，AB边与竖直方向成 角。a当 m 作小角度摆动时，实际上是围绕 AB 的中点 D 运动，故等效摆长LLl230cos正因为 m 绕 D 点摆动，当它静止在平衡位置时，lm图 5-2-9ABCDml图 5-2-10MNamag图 5-2-11指向 D 点的弹力为 ，等效重力加速度为 ，因此此异型摆的周期amgsinagsinLlTsi232（3）悬点不固定的单摆如图 5-2-11，一质量为 M 的车厢放在水平光滑地面上，车厢中悬有一个摆长为 ，摆球的质量为 m 的单摆。显然，当摆球来回摆动时，车厢也将作往复l运动，悬点不固定。由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆，故取车厢为非惯性系，摆球受到重力 mg，摆线拉力 N 和惯性力 的作用，如图Mma分析摆球N= （忽略摆球向心力）sincog回复力 csiMmaF分析车厢：MNsin因为 很小，所以可认为 ， ，1cos0in2则由、式可得 gmaM把它代入 )1(F摆球偏离平衡位置的位移 lx所以 MImg)(因此摆球作简谐振动，周期 gmMlT)(2由周期表达式可知：当 Mm 时， ，因为此时 M 基本不动，一lT2般情况下， gl