抛物线定义及性质,期末复习专用,平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,一、定义,o,L,F,注：如果定点F在定直线l上，所求的轨迹是？,定点F 叫做抛物线的焦点。,定直线l 叫做抛物线的准线,过定点F垂直于直线l的一条直线,x,求标准方程,如何建立直角坐标系？,想一想,设KF= p,设动点M的坐标为（x，y），,由定义可知，,K,过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy。,方程 y2 = 2px（p0）叫做 抛物线的标准方程。,其中 p 为正常数，它的几何意义是:,焦 点 到 准 线 的 距 离,例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线.,1、,2、,练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：,.,例2 根据下列条件写出抛物线的标准方程：,(1)焦点是F(0,-2)；,(2)准线方程是 ；,(3)焦点到准线的距离是2.,(2)抛物线 上与焦点的距离等于9的点的坐标是_；,a,如图,M点是抛物线 上一点,F是抛物线 的焦点, 以Fx为始边,FM为终边的角 ,求 .,练习2,4,例4.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.,分析： 如图可知 原条件等价于M点到F（4，0）和到x4距离相等，,由抛物线的定义，点M的 轨迹是以F（4，0） 为焦点，x4为准线 的抛物线所求方程是 y216x,二、抛物线的性质,抛物线 的几何性质：,(p0),它在 轴的右边，向右上方 和右下方无限伸展。,1、抛物线的范围,2、抛物线的对称性：,关于 轴对称,这条对称轴叫抛物线的轴,注意：,抛物线只有一条对称轴；,没有对称中心,.,F,O,x,y,3、抛物线的顶点：,抛物线和轴的交点。原点O（0，0）,4、抛物线的离心率 y2=2px离心率都是 1,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,例题与练习：,例1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点， 并且经过点M(2,-2,)，求它的标准方程，,并用描点法画出图形。,因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点,),因为点M在抛物线上，所以,即,因此所求方程是,解：,并且经过点M(2,-2,所以抛物线开口向右，可设它的标准方程为：,O,x,y,.,.,.,引申. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=ax(a 0)(x2=by (b0),可避免讨论,例3：一条隧道的顶部的纵截面是抛物拱形，拱高 是2米，跨度是4米，求拱形的抛物线方程。,如图，建立直角坐标系， 可设抛物线的方程为：,解：,(p0),由已知条件，可知抛物线 经过点（2，-2），所以有：,解得：,所以拱形的抛物线方程为：,（-2，-2）,（2，-2）,-2,2,O,x,y,.,.,2、通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,P越大,开口越开阔,3、焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。,例1、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。,8,例2、已知过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于 两点。 （1） 是否为定值？ 呢？ （2） 是否为定值？,这一结论非常奇妙, 变中有不变,动中有不动.,巩固练习,1.已知M为抛物线 上一动点，F为抛物线的焦点， 定点P(3,1),则 的最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6,2.过点(0,2)与抛物线 只有一个公共点的直线有（ ） （A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条,B,C,5、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。,分析：,抛物线上到直线距离最短的点，是和此直线平行的切线的切点。,y,x,y2=64x 4x+3y+46=0,解：,无实根,直线与抛物线相离,设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切的直线方程为y=-4/3 x+b,L,P,则由,y=-4/3 x+b y2=64x,消x化简得 y2+48y-48b=0,=482-4(-48b)=0,b=-12,切线方程为：y=-4/3 x-12,y=-4/3 x-12 y2=64x,解方程组,得,x=9 y=-24,切点为P（9，-24）,切点P到的距离d=,抛物线y2=64x到直线：4x+3y+46=0有最短距离的点为P（9，-24），最短距离为2。,法二；函数法（见板书）,直线与抛物线的位置关系,一、直线与抛物线位置关系种类,1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）,与双曲线的情况一样,x,y,O,二、判断方法探讨,1、直线与抛物线相离，无交点。,例：判断直线 y = x +2与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。,x,y,O,2、直线与抛物线相切，交与一点。,例：判断直线 y = x +1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。,二、判断方法探讨,3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。,例：判断直线 y = 6 与抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标,二、判断方法探讨,x,y,O,例：判断直线 y = x -1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。,4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。,二、判断方法探讨,三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行（重合）,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,判断直线是否与抛物线的对称轴平行,不平行,直线与抛物线相交(一个交点),平行,三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二）,计 算 判 别 式,析：当直线斜率存在时：,注意：,1：斜率不存在时的情况 2：二次项系数为零的情况,四：直线与抛物线相交于两点时，弦长问题,课堂练习2：在抛物线y2=8x中，以（1，-1）为中点 的弦的方程是（ ） A x-4y-3=0 B.x+4y+3=0 C.4x+y-3=0 D.4x+y+3=0,C,析：（点差法） 设交点为（x1,y1）(x2,y2),作差（y1-y2）(y1+y2)=8(x1-x2),K=,=,五：中点问题,思考3：（2007年四川卷）已知抛物线y=-x2+3 上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则 等于（ ） A.3 B.4 C. D.,c,六：对称问题,析：设A（x1,y1）B(x2,y2) 由题意知AB的斜率为1，可设AB为y=x+b 联立,x2+x+b-3=0,由根与系数的关系得AB的中点为（ ， +b）,应在x+y=0上，所以b=1,