2019年1月28日星期一,1,第二节 离散型随机变量及其分布,离散型随机变量 随机变量的所有取值是有限个或可列个 非离散型随机变量 随机变量的取值有无穷多个，且不可列,2019年1月28日星期一,2,定义：若随机变量X的所有可能取值为xi(i=1,2,) 而X取值为xi对应的概率为pi ，即,或,称为离散型随机变量X的分布律或分布列或概率分布。,分布律具有以下重要性质：,即不满足这两条性质，就不能称为随机变量的分布律。,2019年1月28日星期一,3,例：,设随机变量的分布律为：,试求常数 .,解：,由性质（2），有,即,所以,2019年1月28日星期一,4,几种常见的离散型分布,一、两点分布,定义：若随机变量X的分布律为,则称X服从参数为p(0p1) 的两点分布，或0-1分布。,背景：当样本空间只有两个样本点时，可以用两点 分布来 描述。,实例：顾客的性别，机器工作是否正常，以及前面提到的掷硬币试验等都可用0-1分布来描述。,2019年1月28日星期一,5,二、二项分布,定义：若随机变量X的分布律为,则称X服从参数为n， p(0p1) 的二项分布，也称伯努利 分布。,记为,XB( n, p),注：1.当n=1时，即XB(1, p)，,2. 恰好是二项式 的展开式中出现 的那一项，这就是被称为二项分布的缘由。,亦即是两点分布。,2019年1月28日星期一,6,例：,抛5枚均匀的硬币，如果假定各硬币抛的结果相互 独立，试求所得正面个数的分布律。,解：,令X表示所得正面的个数，,则XB(5, 1/2).,于是,注：仔细观察，注意到当k增加时，PX=k会先增加，直至最大值，然后减小。,或,自证:当XB(n, p) 时，若k为不大于(n+1) p的最大整数， PX=k取最大值。,2019年1月28日星期一,7,例：,某人进行射击练习，假设他每次射击的命中率为 0.02，现独立射击400次，试求命中目标的概率。,解：,设命中目标的次数为X ，则XB(400,0.02).,其分布律为,于是，所求概率为,注：随着试验次数的增加，小概率事件发生的可能性也将增加。即小概率事件不再小概率。,若在400次的射击中，没有一次击中目标，根据实际推断原理，我们有理由怀疑原假设（即命中率为0.02）,2019年1月28日星期一,8,例 ：某保险公司有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年时间时每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付12元保险费，而在死亡时家属可从公司领2000元。问：（1）“保险公司亏本”（记为A）的概率是多少？（2）“保险公司获利不少于10000，20000元”（分别记B1和B2）的概率是多少？,解：,问题：如何算出精确或近似值,2019年1月28日星期一,9,Poisson定理说明若X B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式,问题: 如何计算上述结果？,2019年1月28日星期一,10,证:,记,2019年1月28日星期一,11,在实际应用中，当n较大,p较小，而np适中（一般不超过10）时，即可用泊松定理。如前例: n=400,p=0.02,二项分布的泊松近似,泊松定理：,当n较大的时候，直接计算二项分布的概率值是比较麻烦的下面介绍一种近似计算方法,近似效果是不错的。,2019年1月28日星期一,12,解：,例 ：某保险公司有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年时间时每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付12元保险费，而在死亡时家属可从公司领2000元。问：（1）“保险公司亏本”（记为A）的概率是多少？（2）“保险公司获利不少于10000，20000元”（分别记B1和B2）的概率是多少？,2019年1月28日星期一,13,三、泊松分布,定义：若随机变量X的分布律为,则称X服从参数为 的泊松分布。记为XP().,背景：泊松分布主要用于估计某事件在特定时间或空间中发生的次数，如: 社会服务问题：电话交换台中的呼叫数、公共汽车的乘客数； 物理学：放射性分裂落在某区间的质点数； ,2019年1月28日星期一,14,例：,假设书的某一页上印刷错误的个数服从参数为0.5,的泊松分布，求在这一页上至少有一处印刷错误的概率,解：,设X表示一页书上印刷错误的个数，则,XP(0.5 ).,因此,2019年1月28日星期一,15,四、几何分布,定义：若随机变量X的分布律为,则称X服从几何分布。记为XG(p ).,注：重复进行一个每次成功概率为p的独立试验，若前k-1次失败，第k次成功，其概率即为,背景：放回抽样。,2019年1月28日星期一,16,设箱中有N个白球与M个黑球，每次随机取一个球，直到取出黑球为止如果每取出一个球后立即放回，再取出一个球，试求下列概率：,例：,1.正好需要取n次； 2.至少需要取k次。,解：1.,令X表示取到黑球所需的次数，则,2.,2019年1月28日星期一,17,五、超几何分布,定义：若随机变量X的分布律为,则称X服从超几何分布。记为XH(M，N，n ).,背景：产品检验和药物试验等实际问题。,2019年1月28日星期一,18,五、超几何分布,例: 根据1998年统计资料显示，在饮料销售额排名中，可口可乐和百事可乐位居第一，第二位，假设10人中有6人偏爱可口可乐，4人偏爱百事可乐，先从中选出3人组成一个随机样本，试问恰好有两人偏爱可口可乐的概率是多少？ 解: 设X表示3人中偏爱可口可乐的人数，则X服从超几何分布H(3,6,10),所求的概率为:,2019年1月28日星期一,19,内容小结,