7.3.1 线性变换的矩阵,设V是数域F上一个n维向量空间，令是V的一个线性变换，取定V的一个基 令,7.3 线性变换和矩阵,设,n阶矩阵A 叫做线性变换关于基 的矩阵. 简称的矩阵.,(1),上面的表达式常常写出更方便的形式:,例题,7.3.2 坐标变换,设V是数域F上一个n 维向量空间, 是它的一个基, 关于这个基的坐标是 而()的坐标是 问: 和 之间有什么关系?,设,因为是线性变换，所以,（2）,将（1）代入（2）得,最后，等式表明， 的坐标所组成的列是,综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：,定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，是V的一个线性变换，而关于V的一个基 的矩阵是,如果V中向量关于这个基的坐标是 ，而()的坐标是 ，,那么,例1 在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基.令是将 的每一向量旋转角的一个旋转. 是 的一个线性变换.我们有,所以关于基 的矩阵是,设 ，它关于基 的坐标是 ,而 的坐标是 .那么,7.3.3 矩阵唯一确定线性变换,引理7.3.1 设V是数域F上一个n 维向量空间， 是V的一个基，那么对于V 中任意 n个向量 ，恰有 V 的一个线性变换，使得:,我们证明，是V的一个线性变换. 设,那么,于是,设 那么,这就证明了是V的一个线性变换. 线性变换显然满足定理所要求的条件：,如果是V的一个线性变换，且,那么对于任意,从而 ,定理7.3.2 设V 是数域 F 上一个n 维向量空间， 是V 的一个基，对于V 的每一个线性变换，令关于基 的矩阵A与它对应，这样就得到V 的全体线性变换所成的集合 L(V)到F上全体n 阶矩阵所成的集合 的一个双射，并且如果 ,而 ， 则 (3) (4),证 设线性变换关于基 的矩阵是A.那么 是 的一个映射.,是F上任意一个n阶矩阵. 令,由引理7.3.2，存在唯一的 使,反过来，设,显然关于基 的矩阵就是A. 这就证明了如上建立的映射是 的双射.,设 我们有,由于是线性变换, 所以,因此,所以关于基 的矩阵就是AB. （4）式成立，至于（3）式成立，是显然的.,推论7.3.1 设数域F上n 维向量空间V 的一个线性变换关于V 的一个取定的基的矩阵是A，那么可逆必要且只要A可逆，并且 关于这个基的矩阵就是 .,证 设可逆. 令 关于所取定的基的矩阵是B. 由（4），,然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I .,所以AB = I . 同理 BA = I . 所以,我们需要对上面的定理7.3.1和定理7.3.2的深刻意义加以说明:,1. 取定n 维向量空间V的一个基之后, 在映射: 之下, (作为向量空间),研究一个抽象的线性变换, 就可以转化为研究一个具体的矩阵. 也就是说, 线性变换就是矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵.,2. 我们知道, 数域F上一个n 维向量空间V 同构于 , V上的线性变换,转化为 上一个具体的变换:,也就是说, 线性变换都具有上述形式.,7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵相似矩阵,定义：设 A，B 是数域 F 上两个 n 阶矩阵. 如果存在F上一个 n 阶可逆矩阵 T 使等式 成立，那么就说B与A相似，记作： .,n阶矩阵的相似关系具有下列性质：,1. 自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相似，因为,2. 对称性：如果 ，那么 ； 因为由,事实上，由 得,设线性变换关于基 的矩阵是 A , 关于基 的矩阵是 B , 由基 到基 的过渡矩阵T, 即:,7.3 线性变换和矩阵,7.3.1 线性变换的矩阵 一、内容分布 7.3.2 坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵相似矩阵 二、教学目的: 1熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定n 阶矩阵和基，求出关于这个基矩阵为的线性变换 2由向量关于给定基的坐标，求出()关于这个基的坐标 3已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出关于另一个基的矩阵。 三、重点难点: 线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵。,