运筹学,讲课教师：汤建影,南京航空航天大学经济与管理学院,第五节 最小费用流问题,什么是最小费用流问题？ 求解最小费用流的赋权图法 求解最小费用流的复合标号法,一、什么是最小费用流,给定网络N=(V,A,c,b)和经过网络的流量v，求流在网络上的最佳分布，使总费用最小。 c为弧的容量，b为弧上通过单位流量的费用,二、求解最小费用流的赋权图法,基本思想： 从零流量开始，在始点到终点的所有可能增加流量的增广链中寻求总费用最小的链，并首先在这条链上增加流量，得到流量为 的最小费用流。 再对 寻求所有可能增加流量的增广链，并在其中总费用最小的增广链上继续增加流量，得到流量为 的最小费用流。 依此类推，直到网络中不再存在增广链，不能再增加流量为止。,二、求解最小费用流的赋权图法,增广链费用，最小费用增广链。 对于最小费用可行流，沿最小费用增广链调整流，可使流增加，并保持流费用最小。 给定初始最小费用可行流，求最小费用增广链，若存在，则沿该增广链调整网络流，直到达到给定的网络流或不存在增广链为止，后一种情况为最小费用最大流。 若给定网络流超过最大流，则不可能实现。,如何求最小费用增广链？,生成最小费用可行流的剩余网络： 将饱和弧反向 将非饱和非零流弧加一反向弧 零流弧不变 所有正向弧的权为该弧的费用，反向弧的权为该弧费用的相反数 剩余网络又叫长度网络，本教材叫做赋权图。 最小费用增广链对应剩余网络的最短路,最小费用流的实例,第一次剩余网络最短路,第一次调整网络流,第二次剩余网络最短路,第二次调整网络流,第三次剩余网络的最短路,第三次调整网络流,剩余网络已不存在最短路,最小费用最大流,制定一个总运量为7且总运费最小的运输方案：最小费用流问题 制定使运量最大且总运费最小的运输方案：最小费用流问题 若规定网络流为7，则第二次调整量应为2，而不是3。 最小费用与网络流的关系是凸的，即随着流的增加，单位流的费用在增加。请见下页的图。,三、求解最小费用流的复合标号法,将求最短路的标号法和求最大流的标号法相结合，即在求增广链的标号后加上一个距离标号，成为一组三标号，距离标号应采用修正标号法。并采用T标号和P标号的记法。 下面以前例为例来说明符合标号的应用。,第一次迭代,第二次迭代,第三次迭代,最后结果,提示思考,最短路问题、最大流问题可以看作最小费用流的特殊情况，请分析如何将最小费用流问题特化成最短路问题和最大流问题？ 运输问题和指派问题可以用最小费用流问题建模，请将它们化为最小费用流问题。,习题,P.287，习题10、11。,