数学模型 动态模型,北京理工大学 王宏洲 （微分方程模型）,关于动态模型,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,微分方程模型的不同目的,预测某个时刻的状态，或者希望了解整个过程中不同时刻的状态； 预测事物的长远发展趋势，了解事物长期运行下存在哪些规律。,行星定位；预测短期人口；预测生物种群数量 求解析解、数值解,描绘行星运动轨道；人口稳定数量 利用微分方程定性理论，不求解，分析解的性态,此前接触过的微分方程模型,马尔萨斯人口模型,阻滞增长人口模型（Logistic模型）,N,将自然环境、资源的阻滞作用考虑进来。,本部分的主要内容,传染病模型 药物动力学房室模型 糖尿病的诊断 香烟过滤嘴的功效 烟雾的扩散与消失 减肥计划 新的人口模型 离散人口模型 Lanchester战争模型,自二十世纪七十年代以来，传染病再度肆虐人类，其主要表现有：被认为早已得到控制的传染病卷土重来，如结核病、STD、白喉、登革热、霍乱、鼠疫、流行性脑脊髓膜炎和疟疾等等。新发现数十种新传染病，如：AIDS、军团病、丙型肝炎、戊型肝炎、出血性结肠炎、SARS,我国目前有5亿人曾感染结核杆菌，2000年第四次全国结核病流行病学抽样调查发现，我国的活动性肺结核患病率为367/10万，痰涂片阳性患病率为122/10万，估计我国现有活动性肺结核病人451万。,1、传染病概况,一、传染病模型,AIDS 正在全球范围迅速蔓延，尤其以非洲、东欧和中亚地区最为严重。据WHO估计，自首例艾滋病被发现以来至2003年底，全球约有34-46million HIV感染者和艾滋病患者，2000万人死亡。,我国近年来HIV感染人数以每年30%的速度增长。目前全国报告HIV感染者4万余人，估计约有感染者100万人(84万,WHR 2004)感染者主要分布在农村地区，男女比例约为5.2:1，其中20-29岁年龄组占57%。经静脉途径感染约占72%。,2、导致新发传染病的主要因素,人类的人口增长和行为改变 工业技术进步 经济发展和土地开发利用 国际旅游和商贸活动 微生物适应与改变 公共卫生措施的失衡 ,3、传染病的流行病学分类 1、按传播方式分类：接触传播；经水和食物传播；经空气传播；经生物媒介传播；围产期传播 2、按病原体在自然界的储存形式分类：人；动物；土壤；水,4、流行环节与影响因素,病人 携带者 受感染动物,传染源,传播途径,接触 水 食物 医源性 垂直 媒介 土壤,易感人群,社会因素,经济 政治 文化 宗教 风俗,自然因素,气候 地理,5、患病过程 (1)潜伏期(incubation period) ：自病原体侵入机体到临床症状最早出现的这段时间称为潜伏期。 (2)临床症状期 :出现该病特异性症状和体征的时期,是最主要自的传染期，因为此时病原体在人体内大量繁殖。 (3)恢复期:某些传染病临床症状消失后的一段时间内仍可排出病原体,继续作为传染源。 (4)传染期（communicable period):病人排出病原体的整个时期为传染期,6、传播途径(route of transmission),1、经空气传播 (air-borne transmission) 麻疹、流感,2、经水传播(water-borne transmission),霍乱、伤寒、细菌性病疾及甲型肝炎等,3、经食物传播(food-borne transmission),某些寄生虫病，结核、白喉等,4、接触传播(Contact transmission),狂犬病等,5、经昆虫、动物传播,6、经土壤传播(soil-borne transmission),7、医源性传播(iatrogenic transmission),建立传染病要考虑的因素非常多，如传染速度、医疗能力、死亡、新生人口数量、人口年龄性别结构等。具体到不同的疾病，还有传播途径、发作速度等问题。,此外，传染病模型可以参照用于讨论计算机病毒的传播特征等方面。,模型目标,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,模型假设,基本假设：传染病是由病人通过“接触”健康人进行传播的. 疾病流行区域内的人分为三类： S类易感人群； I类病人； R类移出者。 为简单起见，假设本地区总人口不变，为N。,1、SI模型（只考虑S和I两类人）,(1) 除染病、不染病之外，人群的个体之间没有差异。病人与易感者的个体在人群中混合均匀，即S类、I类人群的数量只与时间有关。记s(t)为t时刻健康人占总人口的比例i(t)为t时刻病人的比例，则s(t)+ i(t)=1。,1、SI模型（只考虑S和I两类人）,(2) 人群数量足够大，只考虑传播过程中的平均效应，即函数s(t)和i(t)可以视为连续且可微的。 (3) 每个I类的人每天“有效接触”的人数（包括病人、健康人）为常数。这个常数实际上就是传染率，反映本地区的卫生水平。 (4) 不考虑出生与死亡，以及人群的迁入迁出因素。（简化问题）,构造模型,考虑t到t +t时间内病人人数的变化，根据假设(1)，应该分别是Ni(t)和Ni(t +t)，所以在t时间内受感染的人数为：,令t 0，得到微分方程：,(Logistic模型),模型求解,(Logistic模型),它的通解为,这个模型可以用于预报传染病爆发早期，患病人数的发展规律，并预测传染高峰的时间。,返回实际问题,SI模型图形分析,病人比例随时间的变化规律 病人数增长速率与病人数的关系,增派防疫、医疗人员,采取放假、隔离等措施,普及防疫措施、知识,调整临床医疗策略,SI模型结果分析,这个模型的缺陷是显而易见的. 比如t +时，i(t) 1，这表明本地区最后所有人都会被感染。出现这种结果的原因是假设系统中只有两种人，即病人和易感人群，而且没有考虑病人会被治愈的因素。,1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条) （5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被治愈的病人数占病人总数的比例为。,2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）,表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以1/就可以表示传染病的平均感染期，也是一个病人从发病到被治愈经历的时间。,根据假设5，Logistic模型被修改为：,构造模型,定义一个常数=，根据和1/的定义，就是一个病人在整个患病期间有效接触的平均人数，这在模型里被称为接触数。将代入方程中，得到,求解这个方程，得到解为,模型求解,1时，t +则 i(t) 1-1/。,画出解的图象为 ：,1，t +时i(t) 0.,=,模型结果分析,1，t +时i(t) 0.,=,1、假设：这里的假设类似于模型B，只是引入R类人群。分别记s(t)、i(t)、r(t)为病人、易感人群、移出者在总人口中所占的比例。s(t)+ i(t)+ r(t) = 1。另外，日接触率，日治愈率。,3、SIR模型（免疫模型）,根据假设，模型被修正为,初值条件为i(0) = i0，r(0) = r0，s(0) = s0。,注意：此方程组无法求解析解。,可以求数值解,模型求解,采用常微分方程定性理论的分析办法，将方程组转化成下面的形式：,其中s0，i0且s+i1。,这个方程是可以求解析解的。,求解得到：,模型求解,下面我们来看随着时间的推移，s(t)、i(t)、r(t)的变化规律。 首先，t +时，分别以s , i , r记各自的极限，这些极限都存在。,模型分析,i = 0 ?（用反证法） 假设i 0 ，那么必然有 i = 0。 根据极限的定义，对于充分大的t，都应该有i(t)/2，把这个结论代入方程组。,模型分析,dr/dt=i /2,这会导致r(t)+，这跟上面r(t)的极限也存在的结论有矛盾。,所以只能有： i = 0 。 也就是说传染病最终将消失。,其次，考虑随着t的变化，i-s平面上解的轨线变化情况。大概的走势图为：,模型分析,=,1/是一个边界点，为了让传染病不蔓延，需要调整s0和1/。具体的方法：一是降低s0，如接种疫苗，使S类人群直接变成R类； 二是提高1/使之大于s0，=/,也就是降低而提高，强化卫生教育和隔离病人，同时提高医疗水平。,模型分析,对参数的估计： 令解两端同时取t+，因为 i = 0 ，得到,参数估计,根据历史数据和此公式就可以得到的估计值。,关于传染病模型，我们还可以进一步考虑更复杂的情形，如考虑出生率、死亡率、防疫措施的作用、潜伏期等。,其他类型的传染病模型,SIES模型健康染病潜伏期健康不免疫 SIER模型健康染病潜伏期移出系统 SIRS模型健康染病短时免疫健康(易感) 考虑抵抗能力 考虑地域传播 考虑传播途径(接触、空气、昆虫、水源等),二、药物动力学房室模型,药物的作用过程：,给药,药剂学过程,药物动力学过程,药物转化为可吸收状态,药物吸收入体内并参与循环，在血 液中形成一定浓度。,药效动力学过程,血药浓度达到一定水平时，药物与 受体相互作用产生药效。,药物动力学，定量地描述与概括药物通过各种途径（如静脉注射，静脉滴注，口服给药等）进入体内的吸收、分布、代谢和消除过程的“量-时”变化或“血药浓度-时”变化的动态规律。 药物动力学研究各种体液、组织和排泄物中药物的代谢产物水平与时间关系的过程，并研究相关数学关系式。 近20年来，其研究成果已经对指导新药设计、优选给药方案、改进药物剂型、提供高效、速效、长效、低毒、低副作用的药剂，发挥了重要作用。,实际问题分析,药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量),血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计,药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学,建立房室模型药物动力学的基本步骤,房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移,本节讨论二室模型中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等),模型假设,中心室(1)和周边室(2),容积不变,药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比,药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外,模型建立,线性常系数非齐次方程,对应齐次方程通解,模型建立,模型分析1,几种常见的给药方式,1.快速静脉注射,t=0时刻瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1,给药速率 f0(t) 和初始条件,初始条件：,模型求解,1.快速静脉注射,模型分析2,初始条件,2.口服或肌肉注射,相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室。,吸收室药量 x0(t),3.恒速静脉滴注,t 较大时， c1(t)和 c2(t)趋于常数；t T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零,参数估计,各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2,t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti),由较大的 用最小二乘法定A,由较小的 用最小二乘法定B,参数估计,模型评价,本案例是机理分析与数据处理相结合的有效方法，帮助我们了解处理实际应用问题时应有的思路。 关于房室模型，究竟选取几个房室比较好好没有定论。通常的做法是先取一个，如果达不到满意的结果就再多取一个，甚至可以采用非线性结构，直到满意为止。 可以借鉴用于物质在水源、土壤、空气中传播和检测等问题中，总的思路是把一个整体问题，分成若干个模块，讨论这些模块间的物