第十六章 多元函数的极限与连续,西华师范大学 china west normal university,1 平面点集与多元函数,一、 平面点集二、 上的完备性定理三、 二元函数,数学分析 Ch16 多元函数的极限与连续,西华师范大学 china west normal university,1、 常见的平面点集 全平面,半平面,矩形域,西华师范大学 china west normal university,圆域,角域,西华师范大学 china west normal university,2. 邻域:,圆形邻域,西华师范大学 china west normal university,2. 邻域:,方形邻域,西华师范大学 china west normal university,3. 内点、外点、界点:,设 E 是一平面点集,(1)内点：存在邻域 内部：E 的全体内点所成集合， 记为 intE,（2）外点：存在邻域,（3）界点：任意邻域 且 边界：E 的全体界点所成集合，记为,西华师范大学 china west normal university,如图,例： z = ln (x+y)的定义域 D = (x, y)| x+y 0,易见, 直线上方每一点都是 D 的内点. 即 D=int D,但直线上的点不是 D 的内点.,西华师范大学 china west normal university,例：,西华师范大学 china west normal university,4. 聚点、孤立点 例如：,X1,X3,X2,聚点：点 X 的任一邻域内总有无限多个点属于E . 即孤立点： 但X不是聚点。 即：,西华师范大学 china west normal university,注：1、E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能 不属于E . 2、 E 的内点一定是 E 的聚点. 3、 孤立点必为界点,西华师范范大学 china west normal university,5. 开集 、闭集,西华师范大学 china west normal university,例1： E 如图,例2：E是开集E中的每一点都不是边界点。,西华师范大学 china west normal university,6. 连通集,设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集.,X,Y,连通,西华师范大学 china west normal university,开区域： 是连通的非空开集 闭区域：开区域连同其边界 区域：开域、闭域，或者开域连同其一部分边界点所成的点集。,7. 开区域、闭区域、区域,西华师范大学 china west normal university,有界集： 无界集：,8.有界集、无界集,西华师范大学 china west normal university,邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概范都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.,西华师范大学 china west normal university,说明：（1）n 维空间,西华师范大学 china west normal university,（2）n 维空间中两点间距离公式,设两点为,特殊地，当 n =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,（3）n 维空间中邻域概范：,区域、内点、边界点、区域、聚点等概范也可定义,西华师范大学 china west normal university,二、 中的完备性定理,定义（点列的极限）：设 为平面点集， 为一固定点，若 使得当 时，有 ，则称点列 收敛于点 。,。,记为：,西华师范大学 china west normal university,例：设P0为点集E的一个聚点。 则存在E中的某个点列Pn, 使,西华师范大学 china west normal university,定理16.1 Cauchy 收敛准则: 平面点列 收敛的充要条件是： 当 时，对 都有：,定理16.3 Weierstrass 聚点原理: 有界无限点集至少有一个聚点。推论：有界无限点列必存在收敛子列。,西华师范大学 china west normal university,三 多元函数的概范,1.二元函数的定义,西华师范大学 china west normal university,例1 求 的定义域,所求定义域为,西华师范大学 china west normal university,例2 求定义域,西华师范大学 china west normal university,二元函数的图形通常是一张曲面.,西华师范范大学 china west normal university,西华师范范大学 china west normal university,2.多元函数的概范,定义：,西华师范大学 china west normal university,2 二元函数的极限,一、二元函数的极限,二 、多元函数的极限,三、累次极限,西华师范大学 china west normal university,回忆：一元函数的极限,西华师范大学 china west normal university,设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.,D,z = f (x, y),X,X,XX0： 从任何方向, 以任何方式,一、二元函数的极限,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal university,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,西华师范大学 china west normal university,例1 证明极限,西华师范大学 china west normal university,例2 证明下列极限,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal university,二元函数 f (X), 点X以任何方式趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A.,西华师范大学 china west normal university,Th16.5:,对D 的任一个子集E , 只要点P 是E 的聚点 ，就有：,西华师范大学 china west normal university,Th16.5推论:,（1）如果当X以某几种特殊方式趋于X0时, f (X)的极限为A. 不能断定二重极限,（2）若X以不同方式趋于X0时, f (X)的极限不同, 则可肯定二重极限 不存在。,（3）若 X以某种方式趋于X0时, f (X)的极限不存在, 则可肯定二重极限 不存在。,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal university,结论：确定极限不存在的方法：,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal university,考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.,! 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.,西华师范大学 china west normal university,例4：,其它,是否存在？,西华师范大学 china west normal university,例5：求下列极限,西华师范大学 china west normal university,西华师范大学 china west normal university,类似可定义：,例6：用定义2验证：,西华师范大学 china west normal university,二、累次极限:,1、概范：对于两个自变量 依一定次序趋于 时 的极限，称为累次极限。,例7:,求点(0,0)处的两个累次极限和重极限。,西华师范大学 china west normal university, 2、二重极限与累次极限的关系:（）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改它们的次序。,（） 两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在,（）二重极限存在也不能保证累次极限存在; 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.,西华师范大学 china west normal university,（4）二重极限极限和某一次序累次极限都存在，则必相等。,（5）若两个累次极限和二重极限都存在， 则它们必相等,西华师范大学 china west normal university,3 二元函数的连续性,无论是单元微积分还是多元微积分, 其中,所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数.,二元函数连续性的定义比一元函数更一般化,了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的,整体性质, 二者完全相同.,一、二元函数的连续性概范,二、有界闭域上连续函数的性质,一、二元函数的连续性概范, 连续性的定义,则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形,下, 也称 f 在点 连续.,若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D,上的连续函数.,由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是,f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点,连续等价于,如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元,函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 (或,称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于,如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5,给出的函数在原点不连续.又若把上述例3 的函数改,为,上，这时由于,其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在,在坐标原点的连续性,因此 f 在原点沿着直线 是连续的,例1 讨论函数,解 由于当,在原点间断, 全增量与偏增量,设,量形式来描述连续性, 即当,为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增,时, f 在点 连续.,