随机变量函数的分布,随机变量函数的分布,在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数, 例:, 测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：, 在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能：,背景,一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。,随机变量的函数,随机变量,密度函数,分布函数,设X为离散型 RV, 其分布律为,随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为,有可能g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加,离散随机变量的函数的分布,例6 设随机变量 的分布密度如下，求 及其函数,的分布密度。,解：由 的分布律列出下表,（退化分布）,设 X 为一个连续型R.V，其概率密度函数为 f (x)。y = g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数 fY(y) 。,(1) 求Y的分布函数 FY(y),(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y),连续型随机变量的函数的分布,一般方法,解不等式转化 为求关于X的概率,例7 设圆面积 求圆半径 Y 的概率密度.,所以,（1）当 时，,别处,别处,（2）当 时，,例8 设正方形边长 X 的分布密度如下，求它的面积 Y 的 分布密度。,别处,解：,（1）当 时，,别处,别处,（2）当 时，,例8 设正方形边长 X 的分布密度如下，求它的面积 Y 的 分布密度。,别处,解：,（1）当 时，,（2）当 时，,别处,例9 若,证明,所以 Y 的分布密度为：,解：,即,方法二：若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分别为 f X (x) 、 fY (y), 当 g(x) 是严格单调函数，则,即 Y 服从19，21上的均匀分布,Y=0.1X+10的密度函数为,X的密度函数为,设随机变量服从90，110上的均匀分布,求 Y=0.1X+10的密度函数。,例,解,习题2 22, 24, 25,习题2第九题讲解：,解：此题为P=0.005的n重伯努利试验，设X为同时发生故障的台数，则,（1）设需要配备 个维修工人，,而由于n=200，P=0.005，所以可以用泊松分布近似替代二项分析，=np=1。,设备发生故障不能及时排除的事件是 ，即,查泊松分布表得 ，求得 ，即配备4人即可。,习题2第九题讲解：,解：（2）,因维修工人只有一个，设备发生故障不能及时排除的事件是 ，则有,习题2第九题讲解：,解：（3）由于是2人共同维修100台设备，这里n=100，P=0.005， =np=0.5，则有,设备发生故障不能及时排除的事件是 ，所以,第二章习题课,1、设 与 分别为随机变量X1和X2的 分布函数，为使 是某一随机变量的分布函数，在下给定的各组数值中应取（ ） A、 B、 C、 D、,A,2、设随机变量XN(,2),且二次方程 无实根的概率为0.5，则,3、设随机变量X的概率密度为 求: (1)常数A；(2)X落在(0,/4)内的概率； (3)分布函数F(x)。,4,3、答案： （1） ；（2） ； （3）,